Question

Для функции f и всех неотрицательных x и y выполняется равенство . также известно, что f(6)=8. найдите f(9).

Answer 1

Предварительное замечание. Условиям задачи удовлетворяет функция $f(x)=\frac{x^3}{27}.$ Для нее f(9)=27. Так что мы знаем, какой ответ нужно получить.

Лемма. $f(\sqrt[3]{x_1+x_2+\ldots + x_n})=f(\sqrt[3]{x_1})+f(\sqrt[3]{x_2})+\ldots+ f(\sqrt[3]{x_n})$

Доказательство сводится к многократному использованию исходного равенства.

Лемма. f(2a)=8f(a).

Доказательство.  

$f(2a)=f(\sqrt[3]{8a^3})=f(\sqrt[3]{a^3+a^3+\ldots +a^3})=f(\sqrt[3]{a^3})+\ldots+f(\sqrt[3]{a^3})=$

=8f(a)

Следствие. f(3)=1. В самом деле, 8=f(6)=8f(3); f(3)=1.

Теперь все просто.

$f(9)=f(\sqrt[3]{729})=f(\sqrt[3]{27+27+\ldots +27})=$

$=f(\sqrt[3]{27})+\ldots +f(\sqrt[3]{27})=f(3)+\ldots+f(3)=1+\ldots+1=27$

Сумма равна 27, поскольку там 27 слагаемых, ведь 729 - это 27 в квадрате.

ответ: 27