Подготовка к ЕГЭ
Задать вопрос
Войти
АнонимМатематика01 июня 10:03
1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x², y=2x2. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси
Ox площади, ограниченно данными линиями y=√x, y=x
ответ или решение1
Родионова Анастасия
1) По существующему алгоритму решения задачи по вычислению площади фигуры, ограниченной линиями не заданных пределами интегрирования, находим точки пересечения графиков функций друг с другом, определяя пределы интегрирования.
Решим уравнение x² = 2x:
x² - 2x = 0:
x(x - 2) = 0 ; x1 = 0 и x2 = 2
применяем формулу Ньютона-Лейбница:
s = (от 0 до 2) ∫ (2x - x²) dx =(от 0 до 2)(x² - x³ / 3) = 4 – 8 / 3 = 4 / 3 (кв. ед.).
ответ: 4 / 3 (кв. ед.).
2) Помимо нахождения площади плоской фигуры с определенного интеграла важнейшим приложением темы является вычисление объема тела вращения.
Объем тела вращения можно вычислить по формуле: V = (от a до b)π∫f2(x)dx.
Для начала найдем границы интегрирования. Для этого решим уравнение:
√x = x ; ⇒ √x (1 - √x) = 0 ; ⇒ x = 0 U x = 1.
Вычисляем площадь фигуры.
s = (от 0 до 1)∫(√x - x)dx = (от 0 до 1) (2/3x√x - x²/2) = 2/3 - 1/2 = 4/6 - 3/6=1/6 (кв. ед.).
Вычисляем объем.
V = (от 0 до 1)π∫xdx – (от 0 до 1)∫ x2dx = (от 0 до 1)π( ½ * x2 - 1/3 x3) = π(1/2-1/3) = 1/6π куб.ед.
ответ:V = 1/6π (куб.ед.)
