Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А(9,5,5) В(-3,7,1) С(5,7,8) Д(6,9,2) и его высоту, опущенную из вершины Д на грань АВС.
Даны координаты пирамиды: A(9,5,5), B(-3,7,1), C(5,7,8), D(6,9,2)
Находим координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = -3-9; Y = 7-5; Z = 1-5
AB(-12;2;-4)
AC(-4;2;3)
AD(-3;4;-3).
Найдем площадь грани АВС с учётом геометрического смысла векторного произведения:
Векторное произведение:
i j k
-12 2 -4
-4 2 3 =
=i(2·3-2·(-4)) - j((-12)·3-(-4)·(-4)) + k((-12)·2-(-4)·2) = 14i + 52j - 16k.
Получен нормальный вектор плоскости АВС, равный (14; 52; -16).
Площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения.
S = (1/2)√(14² + 52² + 16²) = (1/2)√(196 + 2704 + 256) = (1/2)√3156 = √789 ≈ 28,0891.
Теперь находим смешанное произведение векторов (АВхАС)*AD.
14 52 -16
(-3 4 -3
-42 + 208 + 48 = 214.
Объём пирамиды равен (1/3) модуля векторного произведения(АВхАС)*AD.
V = (1/6)*214 = 214/6 = 107/3 куб. ед.
Высоту H из точки D на плоскость АВС найдём по формуле:
H = 3V/S(ABC) = 3*(107/3)/(√789) = 3,8093.
102, 105, 111, 114, 120, 123, 129, 132, 138, 141, 147, 150, 156, 159, 165, 168, 174, 177, 183, 186, 192, 195, 201, 204, 210, 213, 219, 222, 228, 231, 237, 240, 246, 249, 255, 258, 264, 267, 273, 276, 282, 285, 291, 294, 300, 303, 309, 312, 318, 321, 327, 330, 336, 339, 345, 348, 354, 357, 363, 366, 372, 375, 381, 384, 390, 393, 399, 402, 408, 411, 417, 420, 426, 429, 435, 438, 444, 447, 453, 456, 462, 465, 471, 474, 480, 483, 489, 492, 498, 501, 507, 510, 516, 519, 525, 528, 534, 537, 543, 546, 552, 555, 561, 564, 570, 573, 579, 582, 588, 591, 597, 600, 606, 609, 615, 618, 624, 627, 633, 636, 642, 645, 651, 654, 660, 663, 669, 672, 678, 681, 687, 690, 696, 699, 705, 708, 714, 717, 723, 726, 732, 735, 741, 744, 750, 753, 759, 762, 768, 771, 777, 780, 786, 789, 795, 798, 804, 807, 813, 816, 822, 825, 831, 834, 840, 843, 849, 852, 858, 861, 867, 870, 876, 879, 885, 888, 894, 897, 903, 906, 912, 915, 921, 924, 930, 933, 939, 942, 948, 951, 957, 960, 966, 969, 975, 978, 984, 987, 993, 996
Хз зачем тебе это надо
