Расстояние от п.А до В =1 Первый автомобиль: Скорость V₁= x км/ч Время в пути t₁= 1/x ч.
Второй автомобиль: Первая половина пути: Расстояние 1/2 =0.5 Скорость V₂=50 км/ч Время в пути t₂= 0.5 / 50=0,01 ч. Вторая половина пути: Расстояние 1/2=0.5 Скорость V₃= (x+15) км/ч Время в пути t₃= 0.5 / (х+15)
Прибыли одновременно: t₁ = t₂+t₃ ⇒ Уравнение: 1/x = 0.01 + 0.5/(x+15) | * x(x+15) x+15 = 0.01x(x+15) +0.5x x+15= 0.01x² + 0.15x +0.5x x+15= 0.01x²+0.65x 0.01x²+0.65x -x-15=0 0.01x²- 0.35x-15=0 |:0,01 x² -35x-1500=0 a=1, b= -35, с= -1500 D= b²-4ac D= (-35)² -4*1*(-1500) = 1225+6000=7225=85² x₁,₂= (-b "+;-" √D)/2a x₁= (35-85)/ (2*1) =- 50/2= -25 не удовл. условию задачи, т.к. скорость не может быть отрицательной величиной х₂= (35+85)/2 = 120/2 = 60 (км/ч) V₁ Проверим: 1/60 = 0,5/50 + 0,5/(60+15) 1/60 = 0,01 + 5/750 1/60 = 1/100 + 1/150 1/60= (15+10)/1500 1/60= 25/1500 1/60=1/60 время в пути одинаковое
По теореме Виета, x1+x2=-3(A+1)/3=-(A+1), x1*x2=A^2 / 3 Выразим сумму кубов через сумму и произведение корней: x1^3+x2^3 = (x1+x2)(x1^2-x1*x2+x2^2) = (x1+x2)(x1^2+2x1*x2+x2^2-3x1*x2) = (x1+x2)((x1+x2)^2-3x1*x2) = -(A+1)((-(A+1))^2-3*(A^2 / 3)) = -(A+1)(A^2+2A+1-A^2) = -(A+1)(2A+1) = -2A^2-3A-1 Сумма кубов - функция от параметра A: f(A) = -2A^2-3A-1 Найдем точку максимума функции: f'(A) = -4A-3 При f'(A)=0: -4A-3 = 0 => A = -3/4. f'(A) > 0 при A < -3/4 f'(A) < 0 при A > -3/4 Это значит, что A=-3/4 - точка максимума функции, а значит, при A=-3/4 сумма кубов принимает наибольшее значение.
