Для того чтобы определить, является ли точка x = 0 точкой непрерывности, устранимого разрыва, разрыва 2-го рода или экстремума функции y = x sinx, нам необходимо проанализировать свойства функции вблизи этой точки.
По определению, точка x = 0 является точкой непрерывности, если значение функции y = x sinx при x = 0 является конечным и предел функции x sinx при x стремится к этому значению. Для определения этого предела мы можем использовать правило Лопиталя, которое позволяет нам брать предел отношения производных функции.
Возьмем производные функции y = x sinx:
y' = sinx + x cosx (производная слагаемого x sinx)
y'' = 2cosx - xsinx (производная слагаемого sinx + x cosx)
Теперь мы можем вычислить предел функции x sinx при x стремящемся к 0, используя правило Лопиталя. Подставим x = 0 вместо x sinx в y = x sinx и проведем дальнейшие вычисления:
Получается, что предел функции x sinx при x стремится к 0/0, что является неопределенностью. Это означает, что точка x = 0 является точкой устранимого разрыва функции y = x sinx.
Чтобы точка была точкой разрыва 2-го рода, функция должна иметь разные односторонние пределы в этой точке. В данном случае мы видим, что пределы слева и справа от x = 0 суть два конечных числа (0), поэтому точка x = 0 не является точкой разрыва 2-го рода.
Точка x = 0 также не является экстремумом функции y = x sinx, так как экстремум функции определяется значением предела функции в данной точке, а в данном случае предел равен 0, что не соответствует экстремуму.
В итоге, пользовуясь всей информацией, мы можем сделать вывод, что точка x = 0 является точкой устранимого разрыва для функции y = x sinx.
limxsinx=0
x→0-0
limxsinx=0
x→0+0
пределы слева и справа равны,значит х=0 точка непрерывности