Дано:
СР=РЕ
FD=DK
угол FCP = угол KEP
Доказать: CDK=EDF
1. угол CPF = угол EPK (вертикальные)
СР=РЕ (по условию)
угол FCP = угол KEP (по усл.)
Следовательно,
CPF=EPK (по 2му признаку) => CF=EK
2. CD=CF+FD
DE=EK+KD
Так как CF=EK (по доказанному), FD=KD (по усл.), то CD=DE
3. CD=DE (доказано)
угол DCK = угол DEF (по усл.)
угол CDE — общий
След-но,
CDK=EDF (по 2му признаку)
ДОКАЗАНО.
далее для удобства угол обозначаю <
2.Дано:
<MKF=<NPE
<MEP=<NFK
KF=PE
Доказать: MKF=NPE
1. <MFK=180-<NFK (по теореме смежных углов)
<NEP=180-<MEP (по теореме смежных углов)
Так как <MEP=<NFK, то
<MFK=<NEP
2. <MKF=<NPE (по усл.)
<MFK=<NEP (доказано)
KF=PE
След-но,
MKF=NPE
ДОКАЗАНО.
ответ: Торопыжка дежурил 5 ночей.
Пошаговое объяснение: смотри рисунок.
1. З - Знайка, Н - Незнайка, Т - Торопыжка, В - Винтик, Ш - Шпунтик.
Цифры наверху - ночи.
Галочка - дежурил.
Заштрихованная клетка - не дежурил.
2. Поскольку Незнайка дежурил меньше всех (3 дня), то остальные дежурили больше 3-х дней, в том числе и Торопыжка.
3. Для решения задачи требуется просто предполагать "А что будет, если ...?", поэтому тут надо действовать только методом перебора самых разных вариантов.
4. Допустим, Знайка продежурил первые 8 ночей, тогда остальные 9-14 ночей его не было.
5. Торопыжка не дежурил вместе со Знайкой, значит, 1-8 ночей его не было.
6. Допустим, Незнайка дежурил все три дня со Знайкой. Это были 2, 5 и 6 ночи, в остальные его не было. Тогда Винтик и Шпунтик в эти дни не дежурили, потому что дежурить могут только двое.
7. Допустим, Винтик дежурил 3 дня со Знайкой: 1, 3 и 4. Соответственно 2, 5, 6, 7 и 8 его не было.
8. Шпунтик не дежурил 1, 3 4 ночи, т.к. там были Винтик и Знайка. 2, 5 и 7 не дежурил, потому что там были Знайка и Незнайка. Остаются лишь 6 и 8 дни.
9. Винтик три дня дежурил со Знайкой, а Шпунтик - только два. В задаче сказано, что они дежурили одинаковое количество дней. Значит, они ещё могли дежурить вместе и/или с Торопыжкой.
10. Торопыжка по условию задачи не дежурил со Знакой. С Незнайкой он тоже не дежурил, потому что тот все три дня дежурил со Знайкой. Значит, Торопыжка дежурил или с Винтиком, или со Шпунтиком, или с ними двумя в разные ночи.
11. Дальше остаётся лишь методом перебора расставить, как могли дежурить с Торопыжкой Винтик и Шпунтик так, чтобы Торопыжка продежурил больше 3-х дней, а Винтик и Шпунтик в сумме продежурили одинаково.
На рисунке в таблице, собственно, указано, кто с кем и сколько мог дежурить. Под таблицей я указала, что выполнила все требования задачи: Знайка продежурил 8 ночей, Незнайка - 3 ночи, Винтик и Шпунтик одинаково по 6 ночей, Торопыжка не дежурил со Знайкой, но продежурил больше 3-х ночей - 5. При этом каждую ночь дежурили только двое из пяти.
См. в приложении.