Question

Докажи, что: а) среди любых 11 целых чисел найдутся два, оканчивающиеся одной и той же цифрой; б) среди любых 10 натуральных чисел найдутся два, начинающихся одной и той же цифрой; в) среди любых 8 целых чисел найдутся два, разность которых делится на 7. !

Answer 1

Как я понимаю, в данном задании ноль не считается натуральным числом, тогда:

а) рассмотрим последовательность натуральных чисел от 1 до 11 (в сумме 11 чисел). В данном случае первое и последнее число заканчиваются на 1. Обозначим первый член последовательности как а1, последний - а11. Теперь сдвинем последовательность на одно число вперёд, т. е. а1 будет равно 2, а11 будет равно 12. Опять подходит. Каждый раз сдвигая последовательность мы делаем это по алгоритму
$$a_1=a_{1_0}+k$$
$$a_{11}=a_{11_0}+k$$
То есть начало и конец сдвигаются на одинаковые промежутки, т. е. постоянно заканчиваются на одинаковую цифру

б) количество цифр равно 9, они идут последовательно при записи первых девяти натуральных чисел, остальные числа получаются путём комбинации этих 9 цифр и идут по такому же порядку, т. е. каждое 10 число будет начинать цикл заново, следовательно, первое число нового цикла будет задействовать первое число предыдущего

в) ход рассуждений такой же, как и в "а)"
а1=1; а8=8
8-1=7
Далее используется тот же самый алгоритм. Сдвинем последовательность, скажем, на 57 чисел. Тогда а1=1+57=58; а8=8+57=65
65-58=7