Теорема Безу
Остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (x - a) равен f(a)
Доказательство
f(x) = (x - a)·g(x) + r, где g(x) - частное, имеет степень на 1 меньше, чем f(x), а r - число (многочлен степени 0)
Тогда, подставляя x = a получаем:
f(a) = (a - a)·g(a) + r, то есть получаем f(a) = r, или r = f(a) - что и требовалось.
Теорема 2
x = a - корень f(x) ⇔ f(x) делится на (x - a)
Доказательство
из теоремы Безу получаем, что если f(a) = 0 (то есть a - корень f(x)) ⇒ f(x) = (x - a)·g(x) + 0 ⇒ f(x) при делении на (x - a) дает g(x) при 0-м остатке, а значит делится (x - a)
Обратно: раз f(x) делится на (x - a), значит остаток равен 0, а он по теореме Безу равен f(a), то есть a - корень f(x)
x1+x2=-1
x1*x2=-5.
Выразим наше выражение через эти.
x1^2*x2^4 + x1^4*x2^2 = x1^2*x2^2*(x2^2 + x1^2) =
= (x1*x2)^2*(x1^2+2x1*x2+x2^2-2x1*x2) = (-5)^2*((x1+x2)^2-2x1*x2) =
= 25((-1)^2-2*(-5)) = 25(1+10) = 275