Question

Исследуйте функцию f(x)=8x^2-x^4-7 !

Answer 1

Исследовать функцию и построить график $f(x)=8x^2-x^4-7$

1) Область определения функции. Функция определена на всей числовой оси, то есть 
$x \in R$

2) Точки пересечения графика функции с осью OY
$f(0) = 8*0^2-0^4-7 = -7$    точка пересечение (0; -7)

Тоски пересечения с осью ОХ, т.е. у=0, тогда

$8x^2-x^4-7 = 0$

Пусть x² = t, тогда

$-t^2+8t-7 = 0$

Корни квадратного уравнения t=1 и  t=7

Сделаем обратную замену

$x_{1,2} = \pm 1 \ ; \ x_{3,4} = \pm \sqrt{7}$

Получили еще четыре точки 

$(- \sqrt{7}; 0) \ ; \ (- 1; 0) \ ; \ ( \sqrt{7}; 0) \ ; \ (1; 0)$

3) Исследуем функции на четность

$f(-x) = 8(-x)^2-(-x)^4-7 = 8x^2-x^4-7$

Так как $f(-x) = f(x)$ , то функция является четной

4) Функция не имеет точек разрыва, поэтому график не имеет вертикальных асимптот.

Найдем наклонные асимптоты $y = k*x + b$  , где

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \frac{8x^2-x^4-7}{x} = - \infty$

Наклонных асимптот тоже нет. 

5) Найдем экстремумы функции. Для это найдем производную y' и приравняем ее к нулю y' = 0

 $f'(x) = (8x^2-x^4-7)' = 16x-4x^3$

 Тогда

$16x-4x^3 = 0 \\ \\ 4x (4 - x^{2} ) = 0 \\ \\ x = 0 \ ; \ x = \pm2$

Получились три критические точки.

Эти точки разбивают область определения на четыре интервала. Находим знак производной  f'(x)  в каждом из интервалов 

На первом x < -2 , f'(x) > 0 - функция возрастает

На первом -2 < x < 0 , f'(x) < 0 - функция убывает

На первом 0 < x < 2 , f'(x) > 0 - функция возрастает

На первом x > 2 , f'(x) > 0 - функция убывает

Таким образом в при х=-2 и х = 2 - тока максимума,

                        а при х = 0 - тока минимума.