Question

Полностью исследовать функцию y= 2+9x+3x^2-x^3 (хотя бы пересечение с осями)

Answer 1

Сложность вызывает определение точек пересечения оси Ох.
Для этого надо решить кубическое уравнение.
Попытка найти корень среди множителей свободного члена не приводят к успеху.
Решение дано на основе формулы Виета (в приложении).
Анализ приведен во втором приложении.

Answer 2

Y = -x^3 + 3x^2 + 9x + 2
Пересечение с осью Oy найти просто:
y(0) = 2, это точка A(0; 2).
Пересечение с осью Ox найти сложнее, для этого надо решить уравнение:
-x^3 + 3x^2 + 9x + 2 = 0
Так просто решить не получится.
Можно найти максимум и минимум функции, а потом приближенно найти 0.
y ' = -3x^2 + 6x + 9 = 0
x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0
x01 = -1; y(-1) = -(-1) + 3*1 + 9*(-1) + 2 = 1 + 3 - 9 + 2 = -3 < 0 - минимум
x02 = 3; y(3) = -27 + 3*9 + 9*3 + 2 = -27 + 27 + 27 + 2 = 29 > 0 - максимум
Заметим, что y(-2) = -(-8) + 3*4 + 9*(-2) + 2 = 8 + 12 - 18 + 2 = 4 > 0
y(4) = -64  + 3*16 + 9*4 + 2 = -64 + 48 + 36 + 2 = 22 > 0
y(5) = -125 + 3*25 + 9*5 + 2 = -125 + 75 + 45 + 2 = -3 < 0
Значит, корни: x1 ∈ (-2; -1); x2 ∈ (-1; 0); x3 ∈ (4; 5)
Дальше можно уточнить.
y(-1,6) = -(-1,6)^3 + 3(-1,6)^2 + 9(-1,6) + 2 = -0,624 < 0
y(-1,7) = -(-1,7)^3 + 3(-1,7)^2 + 9(-1,7) + 2 = 0,283 > 0
x1 ∈ (-1,7; -1,6)
y(-0,3) = -(-0,3)^3 + 3(-0,3)^2 + 9(-0,3) + 2 = -0,403 < 0
y(-0,2) = -(-0,2)^3 + 3(-0,2)^2 + 9(-0,2) + 2 = 0,328 > 0
x2 ∈ (-0,3; -0,2)
y(4,9) = -(4,9)^3 + 3(4,9)^2 + 9(4,9) + 2 = 0,481 > 0
y(5) = -5^3 + 3*5^2 + 9*5 + 2 = -3 < 0
x3 ∈ (4,9; 5)
Дальнейшие уточнения дают:
y(-1,68) = 0,088832; y(-1,67) = -0,005837
x1 ∈ (-1,68; -1,67)
y(-0,25) = -0,046875; y(-0,24) = 0,026624
x2 ∈ (-0,25; -0,24)
y(4,91) = 0,143529; y(4,92) = -0,196288
x3 ∈ (4,91; 4,92)