Question

Определите какой из рядов сходится и указать тип сходимости. 1) (-1)^(n+1)*2^n /3^n+n 2) (-1)^n*n^4/n^4+3n^4+1 , .

Answer 1

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}\cdot 2^{n}}{3^{n}+n}\\\\Priznak\; Lejbnica:\; \; a)\; \lim\limits _{n \to \infty} |a_n |= \lim\limits _{n \to \infty}\, \frac{2^{n}}{3^{n}+n}= \lim\limits _{n \to \infty}\, \frac{2^{n}\cdot ln2}{3^{n}\cdot ln3+1}=\\\\=\lim\limits _{n \to \infty}\,\frac{2^{n}\cdot ln^22}{3^{n}\cdot ln^23}=\frac{ln^22}{ln^23}\cdot \lim\limits _{n \to +\infty}\, \Big (\frac{2}{3}\Big )^{n}=\frac{ln^22}{ln^23}\cdot 0=0$

$b)\; \; |a_1|\ \textgreater \ |a_2|\ \textgreater \ a_3|\ \textgreater \ \ldots \ \textgreater \ |a_{n}|\ \textgreater \ \ldots \\\\\frac{2}{3+1}\ \textgreater \ \frac{2^2}{3^2+1}\ \textgreater \ \frac{2^3}{3^3+1}\ \textgreater \ \ldots \ \textgreater \ \frac{2^{n}}{3^{n}+1}\ \textgreater \ \ldots$

Знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница.
Ряд будет абсолютно сходящимся, т.к. для ряда, составленного из абсолютных величин, выполняется признак Даламбера:

$\lim\limits _{n \to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}= \lim\limits _{n \to \infty}(\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}+n+1}:\frac{2^{n}}{3^{n}+1})= \lim\limits _{n \to \infty}\frac{2^{n}\cdot 2(3^{n}+1)}{(3^{n+1}+n+1)\cdot 2^{n}}= \\\\=\lim\limits _{n \to \infty}\frac{2(3^{n}+1)}{3^{n+1}+n+1}=\lim\limits _{n \to \infty}\frac{2\cdot 3^{n}\cdo ln3}{3^{n+1}\cdot ln3+1}=\lim\limits _{n \to \infty}\frac{2\cdot 3^{n}\cdot ln^23}{3^{n+1}\cdot ln^23}=\\\\=\lim\limits _{n \to \infty}\frac{2\cdot 3^{n}ln^23}{3^{n}\cdot 3ln^23}=\frac{2}{3}$

$2)\; \; \sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}\cdot n^4}{n^4+3n^2+1}\\\\Priznak\; Lejbnica:\\\\a)\; \lim\limits _{n\to \infty }|a_{n}|=\lim\limits _{n \to \infty}\frac{n^4}{n^4+3n^2+1}=\lim\limits _{n \to \infty}\, \frac{1}{1+\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^4}}=1\ne 0\; \; \Rightarrow$

так как не выполняется 1 пункт признака Лейбница, то нет смысла проверять 2 пункт. Вывод: знакочередующийся ряд расходится.