Question

Точки n, m и l лежат на сторонах правильного треугольника abc и при этом nm перпендикулярна вс, мl перпендикулярна ав и ln перпендикулярна ас. площадь треугольника авс = 36. чему равна площадь треугольника lnm? (есть варианты ответов: 18, 16, 15, 12, 9. с решением)

Answer 1

Так как треугольник правильный, то все его углы равны 60°.
Рассмотрим треугольник MLB. Угол LBM=60°, тогда угол BML=30°.
Пусть LB=х. Тогда MB=2х, так как катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. По теореме Пифагора найдем ML:
$LM= \sqrt{MB^2-LB^2} =\sqrt{4x^2-x^2} =x \sqrt{3}$
Сторона исходного треугольника равна:
$AB=AL+LB=MB+LB=2x+x=3x$
По построению, треугольник LMN правильный, значит он подобен с треугольником ABC.
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента пропорциональности:
$\dfrac{S_{LMN}}{S_{ABC}} = \left(\dfrac{LM}{AB} \right)^2 \\\ S_{LMN}= \left(\dfrac{LM}{AB} \right)^2 \cdot S_{ABC} \\\ S_{LMN}= \left(\dfrac{x \sqrt{3} }{3x} \right)^2\cdot 36= \dfrac{1}{3} \cdot 36=12$
ответ: 12