ответ: (x+4)/22=(y-8)/(-38)=z/9
Пошаговое объяснение:
В данном случае прямая задана пересечением плоскостей.
1) для составления канонического уравнения нужно найти точку, через которую проходит данная прямая, и направляющий вектор этой прямой.
Положим z=0, тогда система уравнений, задающая прямую, примет вид:
6*x+3*y=0
x+2*y=12
Решая её, находим x=-4 и y=8. Таким образом, найдена точка М(-4; 8; 0), которая принадлежит прямой. Для нахождения направляющего вектора прямой P заметим, что он ортогонален нормальным векторам N1 и N2 пересекающихся плоскостей и равен их векторному произведению: P=N1xN2. А его можно записать в виде определителя:
N1xN2= i j k , где N1x=6, N1y=3, N1z=-2, N2x=1, N2y=2, N2z=6 -
N1x N1y N1z координаты направляющих векторов, а i, j, k -
N2x N2y N2z орты (единичные векторы) координатных осей.
Подставляя координаты векторов, получаем определитель i j k
6 3 -2
1 2 6,
раскладывая который по первой строке, находим P=22*i-38*j+9*k=Px*i+Py*j+Pz*k . Теперь составим каноническое уравнение прямой по точке M (Mx; My; Mz) и направляющему вектору P:
(x-Mx)/Px=(y-My)/Py=(z-Mz)/Pz. Подставляя известные значения, приходим к уравнению (x+4)/22=(y-8)/(-38)=z/9.
Чтобы составить канонические уравнения прямой, нужно знать точку и направляющий вектор. А у нас даны уравнения двух плоскостей.
Пусть z = 0 , тогда получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: 6x + 3y = 0
x + 2y - 12 = 0. Умножим это уравнение на -6.
6x + 3y = 0
-6x - 12y +72 = 0
Почленно складываем уравнения и находим решение системы:
-9y = -72, y = -72/-9 = 8. Подставим в первое уравнение.
x = 12 - 2y = 12 - 2*8 = 12 - 16 = -4.
Получили точку на заданной прямой: (-4; 8; 0).
Находим направляющий вектор прямой как результат векторного умножения нормальных векторов заданных плоскостей.
i j k | i j
6 3 -2 | 6 3
1 2 6 | 1 2. Применим треугольную схему.
18i - 2j + 12 k - 36j + 4i - 3k = 22i - 38j + 9k.
Направляющий вектор равен (22; -38; 9).
Теперь можно составить каноническое уравнение прямой.
(x + 4)/22 = (y - 8)/(-38) = z/9.
Если каждый член этого уравнения приравнять t, то получим параметрические уравнения прямой.
{x = 22t - 4,
{y = -38y + 8,
{ z = 9t.
