f(x) = y = х³ - 2х² - 3
щоб дослідити функцію на монотонність, слід:
1)знайти її похідну f`(x);
2)знайти критичні точки функції (f`(x) = 0 або f`(x) не існує);
3)визначити знак похідної на кожному з проміжків, на які критичні точки розбивають область визначення функції;
4)визначити проміжки зростання та спадання функції.
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ:y = х³ - 2х² - 3
1)y`= (x³)` - (2x²)` - (3)` = 3x² - 4x = х(3х-4)
пункти 2 та 3 можемо пропустити оскільки ОДЗ: х∈R
4) функція f(x) зростає, якщо f`(x)>0
х(3х-4)>0
х∈(-∞;0)∪(4/3;+∞)
функція f(x) спадає, якщо f`(x)<0
х(3х-4)<0
х∈(0;4/3)
ВІДПОВІДЬ:у↑ при х∈(-∞;0)∪(4/3;+∞);
у↓ при х∈(0;4/3).
D
Пошаговое объяснение:
Сначала раскроем скобки и перенесем -5 влево.
= 3-3х-х^2+9x-9x^2-3x^3+3x^2-3x^3-x^4+5<=0
8+6x-7x^2-6x^3-x^4<=0
x^4+6*x^3+7x^2-6*x-8>=0
Теперь нужно разложить левую часть неравенства на множители. Для этого приравняем левую часть к нулю. Попробуем подобрать корни из делителей свободного члена -8.
Попробуем х=1
1+6*1+7*1-6-8=0 - верно ! Значит первый из множителей (х-1)
Деля x^4+6*x^3+7x^2-6*x-8 на (х-1) в столбик получим
x^3+7*x^2+14*x+8
Опять приравняем данное выражение к 0 и поищем корни из делителей +8
Попробуем -1
-1+7-14+8=0 - верно ! Значит второй множитель (х+1)
Делим x^3+7*x^2+14*x+8 на х+1 в столбик получим
х^2+6*x+8
Приравняем данное выражение к 0 и найдем его корни.
Можно через дискриминант, но мне нравится т. Виета.
х1=-4 х2=-2
Значит оставшиеся 2 множителя (х+2) и (х+4)
Итак x^4+6*x^3+7x^2-6*x-8= (х-1)*(х+1)*(х+2)*(х+4) >=0
Отмечаем на числовой оси точки -4, -2, -1 и 1 и методом интервалов находим решение данного неравенства.
-4 -2 -1 1
+ - + - +
=xE (-B; -4]U[-2;-1]U[1; +B)
B в моей записи означает бесконечность
2)5/4*1/20=5/80
ответ: 5/80