Question

Решите неопределенный интеграл методом замены \int\limits^{0.5}_{-0.5} {\frac{3^x}{1+9^x}}\, dx

Answer 1

$\int\limits^{0.5}_{-0.5} {\frac{3^x}{1+9^x}}\, dx = \frac{1}{ln3}\int\limits^{0.5}_{-0.5} {\frac{3^x*ln3}{1+3^{2x}}}\, dx = \frac{1}{ln3}\int\limits^{0.5}_{-0.5} {\frac{ d(3^x )}{1+3^{2x}}}\ \\\\ 3^x=t \\\\ \frac{1}{ln3}\int\limits^{0.5}_{-0.5} {\frac{ dt }{1+t^{2}}}=\frac{1}{ln3}*arctg(t)=\frac{1}{ln3}*arctg(3^x)=\\ =(\frac{1}{ln3}*arctg(3^{0.5}))-(\frac{1}{ln3}*arctg(3^{-0.5}))=\\=(\frac{1}{ln3}*arctg \sqrt{3} )-(\frac{1}{ln3}*arctg \frac{1}{ \sqrt{3} } )= \frac{ \pi }{3*ln3}- \frac{ \pi }{6*ln3} =$
$\\= \frac{ \pi }{6*ln3}$