Question

Петя и вася ехали вниз по эскалатору. на середине эскалатора хулиган вася сорвал с пети шапку и бросил на встречный эска- латор. петя побежал вверх по эскалатору, чтобы затем спуститься за шапкой вниз. вася побежал вниз, чтобы затем подняться за шапкой вверх. кто будет первым? (ско- рости относительно эскалатора рав- ны и не зависят от направления движения.) нужно

Answer 1

Пусть L - длина половины эскалатора, v - скорость ребят, u - скорость эскалатора.

Если скорость эскалатора больше скорости ребят, то оба будут двигаться по первому эскалатору вниз, но окажется внизу первым хулиган Вася, поэтому и вверх по  второму эскалатору он добежит первым; шапка будет дожидаться его наверху, если, конечно, там не окажется другой хулиган.

Если скорость эскалатора равна скорости ребят, Петя вечно будет бежать вверх (бег на месте), а Вася до шапки доберется (если, опять же, не второй хулиган).

Пусть скорость ребят больше скорости эскалатора, но меньше удвоенной скорости эскалатора. Тогда Петя, добежит до верха медленнее, чем это сделает шапка. На это он потратит время $T_1=\frac{L}{v-u}$. Вася же пробежит расстояние 3L и потратит время $T_2=\frac{3L}{v+u}$

$T_1-T_2=\frac{L}{v-u}-\frac{3L}{v+u}=\frac{Lv+Lu-3Lv+3Lu}{v^2-u^2}= \frac{2L(2u-v)}{u^2-v^2}\ \textgreater \ 0.$

Поэтому Вася будет первым.

Если v=2u, Петя прибежит наверх одновременно с шапкой; предыдущее рассуждение говорит о том, что в этом случае $T_1=T_2,$ то есть ребята прибегут одновременно. 

Если v>2u, можно провести выкладку, напоминающую предыдущие, но можно воспользоваться красивым соображением. Можно считать, что там было не два эскалатора, а один круговой. Тогда можно забыть про скорость эскалатора. Дети находятся в одной точке кругового эскалатора, а шапка - в диаметрально противоположной   точке. Они бегут в разные стороны, но с одинаковой скоростью и должны преодолеть одно и тоже расстояние. Поэтому они прибегут одновременно.

Практический вывод (забудем про хулиганов): Вы увидели знакомого, который движется в противоположном направлении; оба Вы находитесь примерно посередине эскалатора. Если Вы хотите его догнать, не ошибетесь, если побежите по ходу движения, а потом побежите по противоположному. Впрочем, если Вы бежите очень быстро, бежать можете в любую сторону.