Question

Надо)) зная, что tgα + ctgα = 2,5, найдите tg^2 α + ctg^2 α

Answer 1

Дано:  tgα + ctgα = 2,5.
Заменим ctgα =  1/tgα.
Подставим:  tgα +(1/tgα) = 2,5.
Приведя к общему знаменателю и, заменив  tgα = t, получим квадратное уравнение: t² - 2,5t  + 1 = 0.Квадратное уравнение, решаем относительно t: Ищем дискриминант:
D=(-2,5)^2-4*1*1=6,25-4=2,25;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
t_1=(√2,25-(-2,5))/(2*1)=(1,5-(-2,5))/2=(1,5+2,5)/2=4/2=2;t_2=(-√2,25-(-2,5))/(2*1)=(-1,5-(-2,5))/2=(-1,5+2,5)/2=1/2.
Получили 2 взаимно обратных значений, которые и есть tgα и ctgα.
Тогда ответ: tg^2 α + ctg^2 α = 2² + (1/2)² = 4,25.

Answer 2

$tg a=t;\ ctg a=\frac{1}{t}; t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}\Rightarrow \left(t+\frac{1}{t}\right)^2=\left(\frac{5}{2}\right)^2; t^2+2+\frac{1}{t^2}=\frac{25}{4};$

$t^2+\frac{1}{t^2}=\frac{17}{4}$

ответ: $\frac{17}{4}$