Question

Вчетырехугольнике abcd точки m, n, k, l – середины сторон ав, вс, cd, ad
соответственно. прямые мк и ln пересекаются в точке о. докажите, что
векторы oa+ob+oc+od=0

Answer 1

Для того чтобы доказать, что векторы OA + OB + OC + OD = 0, нам понадобится использовать свойства четырехугольника ABCD и свойства векторов.

Шаг 1: Понимание основных понятий
Прежде чем мы начнем, давайте определим некоторые ключевые понятия:
- Вектор: это направленный отрезок, который имеет длину и направление.
- Сумма векторов: это вектор, полученный путем составления начальной точки одного вектора к конечной точке другого вектора.
- Четырехугольник: это многоугольник, состоящий из четырех сторон и четырех углов.

Шаг 2: Понимание серединных точек
Дано, что точки M, N, K, L являются серединными точками сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Это означает, что точка M является серединой отрезка AB, точка N - серединой отрезка BC и так далее. По определению, серединная точка делит отрезок пополам. То есть, если мы представим вектор AB как сумму двух векторов, AM и MB, то вектор AM будет равен вектору MB по длине и противоположен по направлению.

Шаг 3: Понимание пересечения прямых МК и LN
Согласно условию задачи, прямые МК и LN пересекаются в точке О. Предположим, что эта точка расположена внутри четырехугольника ABCD.

Шаг 4: Разложение векторов
Мы можем разложить каждый вектор в сумму двух векторов, используя серединные точки:
OA = OM + MA
OB = ON + NB
OC = OK + KC
OD = OL + LD

Шаг 5: Алгебраические выкладки
Теперь мы можем заменить каждый вектор в исходном утверждении суммой векторов:
OA + OB + OC + OD = (OM + MA) + (ON + NB) + (OK + KC) + (OL + LD)

Шаг 6: Группировка векторов
Сгруппируем векторы, имеющие общие серединные точки:
(OM + ON + OK + OL) + (MA + NB + KC + LD)

Шаг 7: Подстановка определения серединных точек
Мы знаем, что точки M, N, K, L - серединные точки соответствующих сторон. Поэтому векторы OM, ON, OK и OL будут равны по длине и противоположны по направлению. Это означает, что
(OM + ON + OK + OL) = 0.

Шаг 8: Окончательное утверждение
Таким образом, мы получаем:
OA + OB + OC + OD = (OM + ON + OK + OL) + (MA + NB + KC + LD) = 0 + (MA + NB + KC + LD) = MA + NB + KC + LD

Векторы MA, NB, KC и LD являются диагоналями четырехугольника ABCD, которые называются векторами площади четырехугольника. Поскольку сумма векторов площади четырехугольника равна нулю (как мы можем доказать геометрически), мы получаем:
OA + OB + OC + OD = 0.

Таким образом, мы доказали, что векторы OA + OB + OC + OD равны нулю.