Даны координаты вершин пирамиды АВСD :
А(-5;-1;8), В(2;3;1), С(4;1;-2), D(6;3;7).
Найти: 1. Длину | вектор |АВ| = √((2-(-5))² + (3-(-1))² + (1-8)²) =
√(49 + 16 + 49) = √114 ≈ 10,67708.
2. Величину угла между векторами АВ и АС.
Вектор АВ = (7; 4; -7) определён в п. 1. Модуль = √114 ≈ 10,67708.
Вектор АС = (9; 2; -10), √(81+4+100) = √185 ≈ 13,60147.
cos(AB_AC) = (7*9+4*2+(-7)*(-10))/(√114*√185) = 141/√21090 =
= 141/145,223965 ≈ 0,970914133 .
Угол равен arc cos (141/√21090) = 0,241777 радиан или 13,85278 градуса.
3. Площадь грани АСD,
Находим векторы АС и АD.
Вектор АC = (9; 2; -10) определён в п. 1. Модуль = √185 ≈ 13,60147.
Вектор АD = (11; 4; -1), √(121+16+1) = √138 ≈ 11,74734.
Площадь грани ACD равна половине модуля векторного произведения: S = (1/2)|AC*AD|.
i j k| i j
9 2 -10| 9 2
11 4 -1| 11 4 = -2i - 110j + 36k + 9j + 40i - 22k =
= 38i - 101j + 14k = (38; -101; 14).
Модуль равен √(38² + (-101)² + 14²) = √11841 ≈ 108,8163591 .
Площадь S = (1/2)*√11841 = 54,40817953 .
4. Объем АВСD(объем пирамиды ).
Объём пирамиды V = (1/6)*|(ABxAC)*AD|.
Вектор АВ = (7; 4; -7) определён в п. 1. Модуль = √114 ≈ 10,67708.
Вектор АС = (9; 2; -10), √(81+4+100) = √185 ≈ 13,60147. (см. п. 2).
i j k| i j
7 4 -7| 7 4
9 2 -10| 9 2 = -40i - 63j + 14k + 70j +1 4i - 36k =
= -26i + 7j - 22k = (-26; 7; -22).
Модуль равен √((-26)² + 7² + (-22)²) = √1209 ≈ 34,7706773 .
5. Уравнение стороны ВС. Вектор ВС = (2; -2; -3).
(x - 2)/2 = (y - 3)/(-2) = (z - 1)/(-3).
6. Уравнение грани АВD по точкам А(-5;-1;8), В(2;3;1), D(6;3;7).
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA
= 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - (-5) y - (-1) z - 8
2 - (-5) 3 - (-1) 1 - 8
6 - (-5) 3 - (-1) 7 - 8
= 0
x - (-5) y - (-1) z - 8
7 4 -7
11 4 -1
= 0
x - (-5) 4·(-1)-(-7)·4 - y - (-1) 7·(-1)-(-7)·11 + z - 8 7·4-4·11 = 0
24 x - (-5) + (-70) y - (-1) + (-16) z - 8 = 0
24x - 70y - 16z + 178 = 0 или, сократив на 2
12x - 35y - 8z + 89 = 0 .
7.Уравнение высоты СН к грани АВD .
Нормальный вектор плоскости АВД принимаем из её уравнения:
АВД = (12; -35; -8).
Тогда уравнение высоты СН:
(x - 4)/12 = (y - 1)/(-35) = (z + 2)/(-8).
Решение перебором.
Пусть число имеет вид , где - сотни, - десятки и - единицы. Для начала будем считать, что (просто потому, что числа с условием получаются автоматически "переворачиванием" тех, что мы найдем сначала). Возможны следующие случаи - , тогда или . (поскольку и должны быть натуральными числами) Это дает нам числа 124 и 139. Кроме того, можно заметить (подобное замечание было уже однажды сделано выше по тексты), что числа 421 и 931 тоже подходят. Более того, число 421 удовлетворяет и второму условию задачи, и третьему. Если к цифрам 4, 2, 1 прибавить 8, 5, 1, то получим числа 12, 7, 2. Эти последние действительно образуют арифметическую прогрессию с разностью .
Второй возможный случай . Тогда и других возможностей нет. В этом случае и , что дает нам числа 248 и 842. Оба эти числа не подходят под условия задачи.
1. 10 000 + 3 000 + 200 + 50 + 6
600 000 + 40 000 + 5 000 + 100 + 60 + 3
2. а) 14 628
б) 235 685
3. 83 450 > 26 450
137 114 < 137 573
4. 670 250, 250 670, 25 670
5. 67 982, 67 984
6. а) 35 260, 36 260, 37 260, 38 260
б) 730 534, 630 534, 530 534, 430 534