Хороший человек по глазам узнаётся (мокша).
Дурная слава стоит, а худая бежит.
Одним глазом смеется, другим горюет (мокша).
Маленький топор рубит большое дерево.
Слово - не мел: скажешь - не сотрешь (мокша).
Клоп маленький, да спать не даёт.
Какова яблоня, таковы и яблоки.
И скворец иногда по-соловьиному засвищет (мокша).
Муж с женой ругаются - друг друга учат.
Хорошее дело надо делать, плохое - само выходит.
Хорошее сделать тяжело, плохое - легко (мокша).
Какой учитель, такие и ученики.
Каков посев, таковы и всходы (эрзя).
Поповские глаза меры не знают.
И хорошее и плохое не забывается (мокша).
Без плохого нет хорошего, без хорошего нет плохого.
Кто не родится, тот не умирает.
Нет такого дружка, как родная матушка.
После драки кулаками не машут.
Одна беда - не беда.
Муж и жена - искры одного кремня.
На печке и дед - герой (эрзя).
Сказанное слово - серебро, а молчание - золото.
Ласковый теленок двух коров сосет.
Велик коровий язык, да только облизывать годный (мокша).
Молодость не возвратишь, а старость всегда придёт.
Какова мысль, такова и речь (мокша).
У хорошей матери и дочь хороша.
Хвались не в начале дела, а когда его завершишь.
Посади невестку на руки, а на шею она сама залезет.
Хорошее забывается, плохое - никогда (мокша).
Дети без падения не растут.
Плоха та птица, которая не любит свое гнездо.
Старый не а молодой всегда постареет.
Зимой за малиной не ходят.
Язык острее ножа.
На работе - воробей, в еде - орёл (эрзя).
Где нянек много, там дитя безного.
Слово - не птица: вылетит - не поймаешь (эрзя).
Птица по голосу узнается (эрзя).
Красота не в глазах, а в благородном сердце.
В тюрьму путей много, а оттуда только один (мокша).
На одной ноге далеко не уйдешь (мокша).
И в пшенице сор бывает.
Кого любишь, с тем на край света пойдешь.
У него хвост больше его самого (мокша).
Из малого выходит большое.
Каков отец, таков и сын.
Жнущий серп всегда блестит (мокша).
Вовремя сказанное слово дороже золота.
Жизнь прожить - не поле перейти.
Свинья не смотрит на небо (мокша).
Бог тогда когда на руках мозоли появятся.
Кривое коромысло не выпрямишь.
Где огонь, там и дым.
На Бога надейся, а сам не плошай.
Кто молчит, тот больше слышит.
Не одинаковы деревья, не одинаковы и люди.
Вечер покажет, каков был день (эрзя).
Слова выпустишь - назад не вернешь.
Ветер не подует - лес не зашумит.
Маленькая лошадь до смерти жеребёнок.
На чужой печи бок не согреешь (мокша).
Старая крапива сильнее жжёт.
Выше живота не прыгнешь.
Без женщины-хозяйки дом пустой.
Большой на маленького сверху смотрит.
И филин своих птенцов хвалит.
Куда лапоть, туда и обора (эрзя).
Не всякая тропинка приведёт к своему концу.
Сказанное слово обратно не вернешь (мокша).
Каждое начало имеет свой конец (мокша).
Сытым глаз никогда не бывает (мокша).
Весной волк шерсть меняет, а повадки - никогда (мокша).
Из песни слова не выкинешь.
Яблоко от яблони далеко не укатится.
Ребенку заноза в палец, а матери - в сердце.
Народное слово - надежное слово.
Без времени снятое яблоко - кислое (мокша).
Иногда и безумный скажет умное слово.
Без пословицы не проживешь, от неё никуда не уйдешь.
Без братьев можно жить, а без соседа - никогда (мокша).
Как ни мни лыко, ремнем не станет (мокша).
Без знания и лапоть не сплетешь.
Печка одна, да неодинаковы караваи; родители одни, да неодинаковы дети (мокша).
Молва летит, как пуля.
Пословица с птичий клюв, а мудрости в ней целое озеро.
У каждого своя жена красива.
Маленький горшок скорее сварится (мокша).
Не смейся над старым: и сам будешь стар.
Куда иголка, туда и нитка.
Конец покажет, какое было начало (мокша).
Плохому человеку все плохие (мокша).
В начале смеешься - в конце плачешь.
Плохое начало - плохой и конец.
Не тот много жил, кому много лет, а тот, кто много сделал.
Не все песни до конца поются (мокша).
Хорошее слово дороже денег.
Каков корень, таковы и ветки.
Прямой путь не всегда самый короткий (мокша).
Чужая одежда - не одежда, чужой муж - не муж.
Какой поп, такой и приход.
Как не всё видишь, так не всё и слышишь (эрзя).
И на хорошем дереве бывают сухие сучья.
Как в лесу деревья не одинаковы, так и люди.
С чем играешь, тем и ударишься (эрзя).
Где молния, там и гром.
Какая мать, такая и дочь.
Добрая молва лежит, а плохая бежит.
Мысль есть, а выразить не может.
Устами песни поёт, а душой плачет (эрзя).
У кого улей, у того и рой (мокша).
Кто волком родился, тот волком и умрет (мокша).
И колесо вокруг своей оси вертится (мокша).
Смотри на мать, когда берёшь её дочь.
Смерть бывает один раз.
Старое дерево на молодое опирается.
На один гвоздь всё не повесишь.
Что сошьешь, то и поносишь (мокша).
Два века не проживешь.
У попа сдача, как у портного остача.
Плохое к хорошему не приведёт.
Каковы твои друзья, таков и ты; каков ты сам, таковы и твои друзья (эрзя).
Злой человек везде зло творит.
Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z
Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)
задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.
Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.
Особые случаи уравнения (3.1):
1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.
2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.
3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.
Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.
Прямая в может быть задана:
1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0; (3.2)
2) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:
= ; (3.3)
3) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:
. (3.4)
Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.
Вектор a называется направляющим вектором прямой.
Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:
x = x1 +mt, y = y1 + nt, z = z1 + рt. (3.5)
Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:
x = mz + a, y = nz + b. (3.6)
От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:
.
От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n1, n2], где n1(A1, B1, C1) и n2(A2, B2, C2) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система
равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.
Система равносильна системе x = x1, y = y1; прямая параллельна оси Oz.
Пример 1.15. Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.
Решение. По условию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде
x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3×3+D = 0 , D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.
Пример 1.16. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и образующей с плоскостью 2x+y-z-7=0 угол 60о.
Решение. Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением Ax+By=0, где А и В одновременно не обращаются в нуль. Пусть В не
равно 0, A/Bx+y=0. По формуле косинуса угла между двумя плоскостями
.
Решая квадратное уравнение 3m2 + 8m - 3 = 0, находим его корни
m1 = 1/3, m2 = -3, откуда получаем две плоскости 1/3x+y = 0 и -3x+y = 0.
Пример 1.17. Составьте канонические уравнения прямой:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.
Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид:
где m, n, р - координаты направляющего вектора прямой, x1, y1, z1 - координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую прямой, фиксируют одну из координат (проще всего положить, например, x=0) и полученную систему решают как систему линейных уравнений с двумя неизвестными. Итак, пусть x=0, тогда y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, откуда y=-1, z=1. Координаты точки М(x1, y1, z1 ), принадлежащей данной прямой, мы нашли: M (0,-1,1). Направляющий вектор прямой легко найти, зная нормальные векторы исходных плоскостей n1(5,1,1) и n2(2,3,-2). Тогда
Канонические уравнения прямой имеют вид: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.
Пример 1.18. В пучке, определяемом плоскостями 2х-у+5z-3=0 и х+у+2z+1=0, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М(1,0,1).
Решение. Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид u(2х-у+5z-3) + v(х+у+2z+1)=0, где u и v не обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнение пучка следующим образом:
(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.
Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим:
(2u+v)×1 + ( -u + v)×0 + (5u + 2v) ×1 -3u + v =0, или v = - u.
Тогда уравнение плоскости, содержащей M, найдем, подставив v = - u в уравнение пучка:
u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.
Т.к. u≠0 ( иначе v=0, а это противоречит определению пучка ), то имеем уравнение плоскости x-2y+3z-4=0. Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности плоскостей:
(2u+ v) ×1 + (v - u) ×(-2) + (5u +2v) ×3 = 0, или v = - 19/5u.
Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:
u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 или 9x +24y + 13z + 34 = 0.
6*11/3=22
ответ:22 человека.