Линейные уравнения ах = b, где а ≠ 0; x=b/a.
Пример 1. Решите уравнение – х + 5,18 = 11,58.
– х + 5,18 = 11,58;
– х = – 5,18 + 11,58;
– х = 6,4;
х = – 6,4.
ответ: – 6,4.
Пример 2. Решите уравнение 3 – 5(х + 1) = 6 – 4х.
3 – 5(х + 1) = 6 – 4х;
3 – 5х – 5 = 6 – 4х;
– 5х + 4х = 5 – 3+6;
– х = 8;
х = – 8.
ответ: – 8.
Пример 3. Решите уравнение .
. Домножим обе части равенства на 6. Получим уравнение, равносильное исходному.
2х + 3(х – 1) = 12; 2х + 3х – 3 =12; 5х = 12 + 3; 5х = 15; х = 3.
ответ: 3.
Пример 4. Решите систему 
Из уравнения 3х – у = 2 найдём у = 3х – 2 и подставим в уравнение 2х + 3у = 5.
Получим: 2х + 9х – 6 = 5; 11х = 11; х = 1.
Следовательно, у = 3∙1 – 2; у = 1.
ответ: (1; 1).
Замечание. Если неизвестные системы х и у, то ответ можно записать в виде координаты точки.
Квадратные уравнения
Квадратные уравнения ax2 + bx + c = 0, где а ≠ 0.
D = b2 – 4ac;
;
нет решения при D < 0.
При решении квадратных уравнений полезно помнить формулу чётного коэффициента, т.е. случай, когда b = 2k или k =b/2:
.
х2 + px + q = 0 – приведённое квадратное уравнение. Для него справедлива теорема Виета:

где х1 и х2 – корни уравнения.
Пример 5. Решите уравнение 3у + у2 = у.
3у + у2 = у – неполное квадратное уравнение; у2 + 3у – у = 0;
у2 + 2у =0; у∙(у + 2) = 0.
Помните! Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, но второй при этом имеет смысл.
y1 = 0, или у + 2 = 0;
у2 = – 2.
ответ: – 2; 0.
Пример 6. Решите уравнение 18 – х2 = 14.
18 – х2 = 14 – неполное квадратное уравнение; – х2 = 14 – 18;
– х2 = – 4; х2 =4; х = ± 2.
ответ: ± 2.
Пример 7. Решите уравнение х2 + 6х – 3 = 2х3.
х2 + 6х – 3 = 2х3 – уравнение 3-ей степени. Оно решается разложением на множители: х2 – 2х3 + 6х – 3 = 0;
– х2(2х – 1 ) + 3(2х – 1) = 0;
(2х – 1)(3 – х2) = 0;
2х – 1 = 0 или 3 – х2 =0;
х1 = 0,5; х2,3 =.
ответ: 0,5; .
Пример 8. Решите уравнение (х2 – 5х)2 – 30 (х2 – 5х) – 216 = 0.
(х2 – 5х)2 – 30 (х2 – 5х) – 216 = 0 – биквадратное уравнение. Такое уравнение решается методом подстановки.
Замечание. Метод подстановки позволяет перейти к уравнению, равносильному данному.
Пусть х2 – 5х = t. Тогда уравнение примет вид t2 – 30t – 216 = 0;

x2 – 5х = – 6 или х2 – 5х = 36;
х2 – 5х + 6 = 0 или х2 – 5х – 36 =0.
По теореме Виета:
х1 = 2, х2 = 3, х3 = – 4, х4 =9.
ответ: – 4, 2, 3, 9.
Пример 9. Вычислить наибольший корень уравнения х4 – 7х3 + 14х2 – 7х + 1 = 0.
х4 – 7х3 + 14х2 – 7х + 1 = 0 │: х2 (х ≠ 0)


t2 – 2 – 7t + 14 = 0;
t2 – 7t + 12 = 0
х2 – 3х + 1 = 0 или х2 – 4х + 1 = 0;
D = 9 – 4 = 5, D = 16 – 4 = 12
x1 и х3 – меньшие корни. Остаётся сравнить х2 и х4
Пример 10. Найти все целые решения системы уравнений
Решаем уравнение 2(х + у)2 + (х + у) = 21.
Пусть х + у = t. Тогда получим 2t2 + t – 21 = 0; t1 =-7/2 ; t2 = 3.
x + у = -7/2 не удовлетворяет условию задачи, так как хотя бы одно из слагаемых в данной сумме будет нецелым числом.
x + у = 3 – удовлетворяет условию.
Решением системы будут (1; 2) или (2; 1).
ответ: (1; 2), (2; 1).
тогда Х+У= 8кг
в первом сплаве 5 частей (2:3) золото 2/5*Х серебро 3/5*Х
во втором сплаве 10 частей(3:7) золото 3/10*У серебро 7/10*У
в новом сплаве 16 частей(5:11) золото 5/16*8 серебро 11/16*8
сложим золото и серебро отдельно
золото 2/5*Х +3/10*У=5/16*8 (1)
серебро 3/5*Х +7/10*У=11/16*8 (2)
2/5*Х +3/10*У=5/16*8 домножим на 3
3/5*Х +7/10*У=11/16*8 домножим на 2
6/5*Х +9/10*У=15/16*8
6/5*Х +14/10*У=22/16*8 вычтем первое из второго или наоборот
6/5*Х +14/10*У -(6/5*Х +9/10*У ) = 22/16*8 -15/16*8
5/10*У = 7/16*8
У=7кг
Х=8кг-7кг=1кг
ответ первый сплав 1кг ; второй сплав 7кг