Question

На доске выписаны все натуральные числа от 1 до 16 без пропусков и повторений. оля играет в арифметическую игру: за один ход она выбирает два из написанных на доске чисел и записывает на доске модуль их разности,увеличенный на 1, а сами выбранные числа стирает. так она продолжает до тех пор, пока на доске не останется только одно число.какое наибольшее число в результате таких действий оли может остаться на доске?

Answer 1

Очевидно, что если a≥b>0, то |a-b|+1=a-(b-1) не может быть больше, чем a. Иными словами, за каждый ход мы убираем два числа, заменяя их на одно ненулевое, но не большее, чем каждое из убранных. Поэтому, больше 16 мы получить не можем. Если последняя операция будет |16-1|+1, мы получим 16. Но можем ли мы этого добиться? 

Заметим, что всего будет сделано 15 шагов. Сумма всех чисел вначале была четным числом, так как среди них четное число нечетных. Возможные исходы каждой операции: если оба числа четные, на выходе нечетное число. Если оба числа нечетные, на выходе тоже нечетное число. Если числа разной четности, на выходе будет четное число. В результате после каждого хода четность суммы всех чисел меняется. За первые 14 шагов (четное число шагов) в результате мы вернемся к  четной сумме. Поэтому получить числа 16 и 1 не получится. Получить же 16 и 2 легко. Для этого 15 и 14 заменяем на  |15-14|+1=2, 13 и 12 на 2, 11 и 10 на 2, 9 и 8 на 2, 7 и 6 на 2, 5 и 4 на 2, 3 и 2 на 2. Получаем числа 16, семь двоек и одну единицу. Шесть двоек объединяем в пары, каждая из них даст единицу. Получаем 16, одну двойку и четыре единицы. Четыре единицы, разбитые на пары, дадут две единицы, затем эти две единицы дадут одну единицу. Двойка с полученной единицей дадут двойку, после чего получаем идеальную позицию: 16 и 2. Окончательно они дадут |16-2|+1=15.

ответ: 15