Question

Вычислите 2/1*3+2/3*5+2/5*7+2/7*9++2/99*101

Answer 1

В знаменателях дробей перемножаются два подряд идущих нечётных числа (2n-1)  и  (2n+1) . Представим такие дроби в виде суммы дробей со знаменателями, равными заданным множителям:

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1/2}{2n-1}-\frac{1/2}{2n+1}=\frac{1}{2(2n-1)}-\frac{1}{2(2n+1)}\\\\\\\frac{2}{1\cdot 3}+\frac{2}{3\cdot 5}+\frac{2}{5\cdot 7}+\frac{2}{7\cdot 9}+,,,+\frac{2}{99\cdot 101}=\\\\=2\Big (\frac{1}{2\cdot 1}-\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3}-\frac{1}{2\cdot 5}+\frac{1}{2\cdot 5}-\frac{1}{2\cdot 7}+\frac{1}{2\cdot 7}-\frac{1}{2\cdot 9}+...+\frac{1}{2\cdot 99}-\frac{1}{2\cdot 101}\Big )=\\\\=2\cdot \Big (\frac{1}{2\cdot 1}-\frac{1}{2\cdot 101}\Big )=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \Big (1-\frac{1}{101}\Big )=\frac{100}{101}$