Question

Найти косинус угла между диагоналями паралограма построенного на векторах a = 4m + 2n и b = 4m + n, если | m | = | n | = 1

Answer 1

Пусть диагонали параллелограмма -- это векторы c и d.
Пользуясь правилом треугольника, выразим диагонали через векторы a и b:
c = a + b = (4m + 2n) + (4m + n) = 8m + 3n
d = a - b = (4m + 2n) = (4m + n) = n

Скалярное произведение c*d = (8m + 3n)*n = 8mn + 3nn
nn = |n| * |n| * cos0° = 1 * 1 * 1 = 1
3nn = 3
mn = |m| * |n| * cos60° = 1 * 1 * 1/2 = 1/2
8mn = 4

c*d = 8mn + 3nn = 3 + 4 = 7
Таким образом |c| * |d| * cos(c^d) = 7

Чтобы найти косинус между c и d из формулы скалярного произведения нужно найти |c| и |d|:
$|c| = \sqrt{c^2} = \sqrt{(8m + 3n)^2}= \sqrt{64mm+48mn+9nn}= \\ \\ \sqrt{64+24+9} = \sqrt{97} \\ \\ |d|= \sqrt{d^2}= \sqrt{n^2} = \sqrt{1} =1$

То есть c*d = |c| * |d| * cos(c^d) = √97 * cos(c^d) = 7

cos(c^d) = $\frac{7}{ \sqrt{97} }$

(с^d) = arccos $\frac{7}{ \sqrt{97} }$