Обозначим О центр вписанной в треугольник окружности. Обозначим точки касания вписанной окружностью М - со стороной АВ, Р - со стороной ВС, и - точно так - же точку касания с KL обозначим N.
Из-за того, что АСKL - вписанный четырехугольник, угол KLC + угол ВАС = 180 градусов, но угол BLK + угол KLC = 180 градусов, поэтому угол BLK = угол ВАС. Поэтому треугольник ВКL подобен АВС.
Обозначим BM = BP = x; АМ = АК = y; CK = CP = z - отрезки, на которые делят стороны точки касания вписанной окружности.
x + y = 7;
y + z = 9;
x + z = 8; вычитаем это из второй суммы
y - x = 1; вычитаем это из первой суммы
2*x = 6; нам понадобится именно эта величина, остальное считать не будем. Периметр треугольника BKL равен 2*x = 6; поскольку KM = KN и NL = LP, поэтому BK + KL + BL = BK + KN + NL + BL = MB + BP = 2*x
Из того, что BKL подобен АВС, следует, что BL = KL*7/9; BK = KL*8/9, периметр равен KL*24/9; Поэтому
KL*24/9 = 6; KL = 9/4;
1)Проведу отрезок BH к основанию треугольника. Данный треугольник - равнобедренный, так как две стороны в нём равны.
Рассмотрю ΔABH, <H = 90°. AH = CH = AC/2=184/2 = 92, так как BH - медиана по свойству равнобедренного треугольника.
По теореме Пифагора,
BH = √AB²-AH² = √13225-8464 = √4761 = 69
2)Поскольку BH касается окружности, то окружность является вписанной в ΔABH.
3)Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляем по формуле:
r = √(p-a)(p-b)(p-c)/p, где p - полупериметр треугольника. Вычислю сначала этот полупериметр:
p = (69 + 92 + 115)/2 = 138
r = √(138-69)(138-92)(138-115)/138 = √69*46*23/138 = √73002/138 = √529 = 23
