Question

100 1)при каком значении a корни x₁ и x₂ уравнения x²-ax+a-1=0 удовлетворяют условию x₁²+x₂²=122? 2)составьте квадратное уравнение с корнями x₁=5+2√6/4 x₂=5-2√6/4 3)дано квадратное уравнение ax²+bx+c=0 с корнями α и β,где α≠0,c≠0.постройте квадратное уравнение с корнями α³β и αβ³ 4)при каких значений y и z сумма корней уравнения x²+3x-10=0 равна (2y-z), а произведение корней уравнение равно (y+2z)?

Answer 1

1) по т. Виета
x₁ + x₂ = a
x₁x₂ = a-1

(x₁ + x₂)^2 = x₁² + x₂² + 2x₁x₂ = a²

122 + 2a - 2 = a²
a² - 2a - 120 = 0
D = 4 + 480 = 484 = 22²
a₁ = (2 - 22)/2 = -10
a₂ = (2 + 22)/2 = 12

ответ: при а = -10 и а = 12

2) x₁ + x₂ = 10 = -b
x₁x₂ = 25 - (2√6/4)² = 25 - 6/4 = 25 - 1,5 = 23,5 = c

x² - 10x + 23,5 = 0 - искомое уравнение

3) по теореме Виета: 
α + β = -b/a
αβ = c/a

α³β+αβ³ = αβ(α²+β²) = αβ((α+β)² - 2αβ) = c/a * (b²/a² - 2c/a) = c(b²-2ac)/a³

α³β*αβ³ = (αβ)⁴ = c⁴/a⁴

уравнение: a⁴x² + (2ac - b²)acx + c⁴ = 0

4)
2y - z = -3 => z = 2y + 3
y + 2z = -10
y + 4y + 6 = -10
5y = -16

y = -3.2
z = -3.4