Question

Это по матанализ , я не знаю как решить. y'=x+y , y(0)=3 ;

Answer 1

Тип: линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
$y'-y=0$

Это дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными

$y'=y\\\\ \displaystyle \int \frac{dy}{y} =\int dx~~~~\Rightarrow~~~ \ln|y|=x+C~~~\Rightarrow~~~~ y=Ce^x$

Примем $C=C(x)$ и найдем решение $y=C(x)e^x$
$y'=C'(x)e^x+C(x)e^x$

Подставляем все эти данные в исходное уравнение

$C'(x)e^x+C(x)e^x-C(x)e^x=x\\ \\ C'(x)e^x=x\\ \\ C'(x)=xe^{-x}\\ \\ C(x)=\displaystyle \int xe^{-x}dx= \left\{\begin{array}{ccc}u=x;~ du=dx\\ dv=e^{-x}dx,~v=-e^{-x}\end{array}\right\}=-xe^{-x}+\int e^{-x}dx=\\ \\ =-xe^{-x}-e^{-x}+C$

Общее решение: $y=e^x(-xe^{-x}-e^{-x}+C)=Ce^x-x-1$

Осталось найти частное решение, подставив начальное условие

$3=C-1\\ C=4$

Частное решение: $y=4e^x-x-1$