Question

Прямоугольный треугольник с катетами равными 3 см и 4см, вращается вокруг прямой , содержащей гипотенузу. найдите площадь поверхности тела вращения

Answer 1

Боковая поверхность тела вращения S = 16,8π см².

Пошаговое объяснение:

Рисунок прилагается.

При вращении прямоугольного треугольника ABC вокруг прямой, содержащей гипотенузу AB получается тело вращения, образованной двумя конусами с общим основанием и образующими, равными катетам треугольника AC и BC. Радиус основания конусов R равен высоте CH треугольника ABC, проведенной из вершины прямого угла C.

В ΔABC ∠C = 90°, катет AC = 4 см, катет BC = 3 см. По т.Пифагора найдем гипотенузу AB:

AB = $\sqrt{AC^{2} +BC^{2} } = \sqrt{4^{2}+3^{2} } =\sqrt{16+9} =\sqrt{25} =5$ (см).

Найдем высоту CH в ΔABC.

Воспользуемся определением синуса угла в прямоугольном треугольнике: синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

В ΔAHC:  sin∠A = $\frac{CH}{AC}$;

В ΔABC:  sin∠A = $\frac{BC}{AB}$;

$\frac{CH}{AC} = \frac{BC}{AB} ;$     $CH = \frac{AC*BC}{AB}$;  $CH = \frac{3*4}{5} = \frac{12}{5} = 2,4$;

Радиус основания конусов R =  CH = 2,4 см.

Боковая поверхность конуса равна половине произведения длины окружности основания на образующую. S = $\frac{1}{2}$* 2πR *L = πRL.

Боковая поверхность тела вращения равна сумме боковых поверхностей обоих конусов.

S₁ = π * 2,4 см * 4 см = 9,6π см²;

S₂ = π * 2,4 см * 3 см = 7,2π см²;

S = S₁ + S₂ = 16,8π см².