Question

Решить дифференциальное уравнение: xy' + y=(x^2)(e^x)

Answer 1

$y' + \frac{y}{x} = x \cdot e^x$
$y = u \cdot v; y' = u' \cdot v + v' \cdot u$
$u' \cdot v + u \cdot (v' + \frac{v}{x}) = x \cdot e^x$
1) $v' = \frac{v}{x}$
$\frac{dv}{v} = - \frac{dx}{x}$
$\ln{v} = -\ln{x}$
$v = \frac{1}{x}$
2) $u' \cdot \frac{1}{x} = x \cdot e^x$
$\frac{du}{dx} = x^2 \cdot e^x$
$u = \int x^2 \cdot e^x$
$u = (x^2 - 2 \cdot x + 2) \cdot e^x +c$
$y = u \cdot v = ((x^2 - 2 \cdot x + 2) \cdot e^x + c) \cdot \frac{1}{x}$