Question

Решите неравенство. ㏒₂(+2)-㏒₂(x+3)≤㏒₂()

Answer 1

Найти ОДЗ(область допустимых значений):
x∈(-3,$-\frac{3}{2}$)∪(0,+∞);
Упростить выражение,используя формулу ㏒ₐ(y)=㏒ₐ($\frac{x}{y}$):
㏒₂($\frac{\frac{3}{x}+2}{x+3}$)≤㏒₂($\frac{x+4}{x^{2}}$);
Для a>1 выражение ㏒ₐ(x)≤㏒ₐ(y)=x≤y:
$\frac{\frac{3}{x}+2}{x+3}\leq \frac{x+4}{x^{2}}$;
Переместить выражение в левую часть и изменить его знак:
$\frac{\frac{3}{x}+2}{x+3}-\frac{x+4}{x^{2}} \leq 0$;
Записать все числители над наименьшим общим знаменателем x²(x+3):
$\frac{x^{2}({\frac{3}{x}+2})-(x+3)(x+4)}{x^{2}(x+3)} \leq 0$;
Записать все числители над общим знаменателем и перемножить выражения в скобках:
$\frac{x^{2}({\frac{3+2x}{x}})-(<img src=$+4x+3x+12)}{x^{2}(x+3)} \leq 0" alt="x^{2}" />+4x+3x+12)}{x^{2}(x+3)} \leq 0" />;
Сократить выражение на x и привести подобные члены:
$\frac{x(3+2x)-(x^{2}+7x+12)}{x^{2}(x+3)} \leq 0$;
Распределить x через скобки;когда перед скобками есть знак "-",знак каждого члена в скобах нужно изменить на противоположный:
$\frac{3x+2x^{2}-x^{2}-7x-12}{x^{2}(x+3)} \leq 0$;
Привести подобные члены:
$\frac{4x+x^{2}-12}{x^{2}(x+3)} \leq 0$;
Существует 2 случая,при которых частное $\frac{a}{b}$ может быть ≤0:$\left \{ {{a \leq 0} \atop {b\ \textgreater \ 0}} \right.$ или $\left \{ {{a \geq 0} \atop {b\ \textless \ 0}} \right.$:
$\left \{ {{-4x+x^{2}-12 \leq 0} \atop {x^{2}(x+3)}\ \textgreater \ 0} \right.$
$\left \{ {{-4x+x^{2}-12 \geq 0} \atop {x^{2}(x+3)}\ \textless \ 0} \right.$;
Решить неравенство относительно x:
$\left \{ {{xe[-2,6]} \atop {xe(-3,0)(0,\infty)}} \right.$
$\left \{ {{xe(-\infty,-2][6,\infty)} \atop {xe(-\infty,-3)}} \right.$;
Находим пересечение:
x∈[-2,0)∪(0,6]
x∈($-\infty$,-3);
Находим объединение:
x∈($-\infty$,-3)∪[-2,0)∪(0,6], x∈(-3,$-\frac{3}{2}$)∪(0,$\infty$);
Найти пересечение множества решений и области допустимых значений:
x∈[-2,$-\frac{3}{2}$)∪(0,6]
Примечания автора:я думаю всё было понятно,если не так-пиши в комментарии.В функции редактора ответа нельзя использовать знак "∈" или "∉",поэтому там,где он необходим я ставил знак "e".Будь внимательным!
Насчёт квадратных и круглых скобок в конце не должно возникнуть вопросов.Удачи!