Question

Найдите наименьшее значение функции y=7x-ln(x+4)^7 на отрезке (-3,5; 0)

Answer 1

$y=7x-ln(x+4)^7$

y’=$7-\frac{7}{x+4}$

Найдем точки экстремум:

$7 - \frac{7}{x+4} =0$

ОДЗ:

x≠-4

$-\frac{7}{x+4} =-7\\7(x+4)=7\\x+4=1 \\x=-3$

Подставим значения краев данных отрезков и точку экстремум:

$y(-3.5)=7*(-3,5)-ln((-3.5+4)^7)$

$y(-3.5)=-24.5-ln((0.5)^7)$

$y(3.5)=-24.5+7ln(2)$

______

$y(-3)=7*(-3)-ln(-3+4)^7$

$y(-3)=-21-0$

$y(-3)=-21$

______

$y(0)=0-ln(4^7)\\y=-14ln(2)$

Соответственно наименьшее значение данная функция на заданном отрезке принимает в точке (-3) и оно равняется -21.

ответ: -21

Answer 2

-21

Пошаговое объяснение:

Найдите наименьшее значение функции y=7·x-ln(x+4)⁷ на отрезке [-3,5;0].

1) ОДЗ: x+4>0 ⇔ x>-4 ⇔ x∈(-4; +∞). Отрезок [-3,5;0] является подмножеством (-4; +∞).

2) Находим производную от функции y=7·x-ln(x+4)⁷ = 7·x-7·ln(x+4):

$\displaystyle y'=(7 \cdot x-7 \cdot ln(x+4))'=7 \cdot (x)'-7 \cdot (ln(x+4))'=7 -7 \cdot \frac{1}{x+4} =7 -\frac{7}{x+4}$

3) Находим критические точки из отрезка [-3,5;0] . Для этого находим нули производной:

$\displaystyle y'=0 \Leftrightarrow 7 -\frac{7}{x+4}=0 \Leftrightarrow 1 -\frac{1}{x+4}=0 \Leftrightarrow \frac{x+4-1}{x+4}=0 \Leftrightarrow \frac{x+3}{x+4}=0 \Rightarrow x+3=0 \Leftrightarrow x=-3 \in[-3,5; 0].$

4) Вычислим значения функции при x= -3,5, x= -3, x= 0:

y(-3,5)=7·(-3,5)-7·ln(-3,5+4)= -24,5-7·ln0,5

y(-3)=7·(-3)-7·ln(-3+4)= -21-7·ln1= -21

y(0)=7·0-7·ln(0+4)= -7·ln4

5) Сравним значения функции при x= -3,5, x= -3, x= 0 и определим наименьшее:

y(0)-y(-3,5) = -7·ln4-(-24,5-7·ln0,5) = -7·ln4+24,5+7·ln0,5 = -7·ln4+24,5-7·ln2 =

= 24,5-7·(ln4+ln2) = 24,5-7·ln8 = 24,5-7·ln8 > 24,5-7·lne³ = 24,5-7·3=3,5>0,

то есть y(0) > y(-3,5);

y(0)-y(-3) = -7·ln4-(-21) = 21-7·ln4 = 21-7·lne² = 21-7·2=7>0,

то есть y(0) > y(-3);

y(-3)-y(-3,5) = -21-(-24,5-7·ln0,5) = -21+24,5+7·ln0,5=3,5-7·ln2=3,5·lne-7·ln2=

= 3,5·(lne-ln2²) = 3,5·(lne-ln4) = 3,5·ln(e/4) = -3,5·ln(4/e) <0,

то есть y(-3) < y(-3,5).

Отсюда:

y(-3) < y(-3,5) < y(0)

и наименьшее значение функции равен -21.