Question

Решить двое играют в следующую игру: берется натуральное число, первый игрок его утраивает, второй добавляет к результату 6060, затем действия повторяются (первый утраивает результат, второй добавляет 6060 и так далее). выигравшим счиается тот игрок, который последний раз попал в отрезок [1,1000][1, 1000]. найдите наименьшее число, при старте с которого выигрывает первый игрок

Answer 1

Пусть сделано 2k-1 ходов. Тогда последним сделал ход первый. Пусть они оба начинали с числа n. Тогда на 2k-1 ходу получилось число $3^{k}n+60\times3^{k-1}+60\times3^{k-2}+...+3\times 60$; Упростим это выражение с формулы суммы геометрической прогрессии со знаменателем 3, имеем: $3^{k}n+60(\frac{3}{2}(3^{k-1}-1))=3^{k}n+90(3^{k-1}-1)$; Пусть это число оказалось равным A; То есть $3^{k}n+90(3^{k-1}-1)=A$;Общее решение этого уравнения:$k=\log_{3}(\frac{90+A}{90+3n})+1$; При этом будем стараться искать наименьшее значение n; Заметим, что знаменатель дроби в логарифме больше 90. Если результат k≥4, то числитель дроби в логарифме слишком большой. Больше 1000, а значит мы пропустили чей-то выигрыш. Тогда k=3; Результат 90+A должен быть таким, что ход второго (а это прибавление 60) выходил за интервал. То есть 90+A>1000-60+90=1030; Поскольку k=2, то 90+A=9(90+3n); Решим неравенство: 9(90+3n)>1030, откуда x>220/27, значит x≥9. Наименьшее значение n равно 9. В этом несложно убедиться. ответ: 9