Question

Lim (x-> 3) ((6-x)/3)^(tg(pi*x/6)= с подробным решением

Answer 1

Поехали
с вашего позволения в решении сокращу lim(x->3) до lim, т.к. других пределов у нас нет и не предвидится

для начала распишем
lim(3^(-tg(pi*x/6))*(6-x)^tg(pi*x/6))

логарифмируем
lim(exp(ln(6-x)*tg(pi*x/6)-ln(3)*tg(pi*x/6)))=
exp(lim(ln(6-x)*tg(pi*x/6)-ln(3)*tg(pi*x/6)))

вынесем ln(6-x) и вычислим для него предел
exp(ln(3)*(tg(pi*x/6)-ln(3)*tg(pi*x/6)/ln(6-x)))

приведем дробь к общему знаменателю и вычислим предел в знаменателе
exp(ln(3)/ln(3)*lim(tg(pi*x/6)*(ln(6-x)-ln(3)))

небольшое отступление lim(x->3)(tg(pi*x/6)) =
lim(sin(pi*x/6)/lim(cos(pi*x/6)) = 1/lim(cos(pi*x/6))

подстановка
exp(lim(ln(6-x)-ln(3)/cos(pi*x/6)))

неопределённость типа 0/0 раскроем по теореме Лопиталя предел отношения этих функций (логарифма и косинуса) будут равны пределу отношения их производных

d/dx(ln(6-x/3))=-1/(ln(e)*(6-x))=-1/(6-x)
d/dx(cos(pi*x/6))=-pi/6*sin(pi*x/6)=-pi/6

exp(lim( (-1/(6-x))/(-pi/6))) = exp(lim(6/((x-6)*pi)))

избавляемся от предела
exp(6/3pi)=exp(2/pi)
ну или более привычная запись
${e}^{ \frac{2}{\pi} }$