Question

Если положительное двузначное число разделить на сумму его цифр , то в частном получится 8, а в остатке 7. если же из квадрата суммы цифр этого числа вычесть произведение его цифр , то получится число , которое меньше данного на 14. найдите это число

Answer 1

Пусть $\overline{xy}$ - неизвестное двузначное число.

Двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 8, а в остатке 7, то есть имеем такое уравнение:

$\displaystyle \frac{\overline{xy}}{x+y} =8+\frac{7}{x+y}~~|\cdot (x+y)~~\Rightarrow~~~ \overline{xy}=8(x+y)+7$

Из квадрата суммы цифр этого числа вычесть произведение его цифр, то получится число, которое меньше данного на 14, то есть

$(x+y)^2-xy=\overline{xy}-14$

Раз $\overline{xy}$ - двузначное число, то $\overline{xy}=10x+y$

Решаем систему уравнений: $\displaystyle \left \{ {{10x+y=8(x+y)+7} \atop {(x+y)^2-xy=10x+y-14}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{10x+y=8x+8y+7} \atop {(x+y)^2-xy=10x+y-14}} \right. ~~~\Rightarrow\left \{ {{2x-7y=7} \atop {x^2+y^2+xy=10x+y-14}} \right. \\ \\ \Rightarrow~~\left \{ {{x=\frac{7y+7}{2}} \atop {(\frac{7y+7}{2})^2+y^2+y\cdot\frac{7y+7}{2}=10\cdot\frac{7y+7}{2}+y-14}} \right. \\ \frac{49y^2+98y+49}{4}+y^2+\frac{7y^2+7y}{2} =35y+35+y-14~~|\cdot 4\\ \\ 49y^2+98y+49+4y^2+14y^2+14y=144y+84\\ 67y^2-32y-35=0$

$y_1=-\dfrac{35}{67}$ - не удовлетворяет условию;

$y_2=1$

Тогда $x_2=\dfrac{7\cdot 1+7}{2}=7$

Искомое двузначное число: 71.