Question

Составьте уравнение окружности с центром в точке m(3; 2) и касающейся прямому y=2x+6.

Answer 1

Радиусом окружности, которая касается прямой, будет расстояние от точки - центра окружности, до прямой .

Расстояние от точки M(x₀,y₀) до прямой Ax+By+C=0 можно вычислить по формуле:

$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\; .$

$M(3;2)\; ,\; \; y=2x+6\; \; \Rightarrow \; \; 2x-y+6=0\; ,\\\\d=\frac{|2\cdot 3-2+6|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{|10|}{\sqrt5}=\frac{10\sqrt5}{5}=2\sqrt5\\\\R=2\sqrt5=\sqrt{2^2\cdot 5} =\sqrt{20}\\\\Okryznost:\; \; \; (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\; ,\\\\\underline {(x-3)^2+(y-2)^2=20}$

Answer 2

Уравнение окружности имеет вид:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = R^2
В данном случае:
(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = R^2
Осталось найти радиус.
Подставим y = 2x + 6 в уравнение окружности:
(x - 3)^2 + (2x + 6 - 2)^2 = R^2
(x - 3)^2 + (2x + 4)^2 = R^2
x^2 - 6x + 9 + 4x^2 + 16x + 16 = R^2
5x^2 + 10x + 25 - R^2 = 0
D = 100 - 4*5*(25 - R^2) = 100 - 20*(25 - R^2) = 20*(5 - 25 + R^2) = 20*(-20 + R^2)
Т.к. прямая и окружность имеют одну точку пересечения, то D = 0 (т.к. решение единственное)
20*(-20 + R^2) = 0
R^2 - 20 = 0
R^2 = 20.

Таким образом, уравнение окружности:
(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 20