Question

Решить xy" -y'=x^2cosx , y(π/2)=1, y'(π/2)=π/2

Answer 1

Разделим всё на $x^2$ и заметим, что
$\dfrac{xy''-y'}{x^2}=\left(\dfrac{y'}x\right)'$

Значит, уравнение выглядит просто:
$\left(\dfrac{y'}x\right)'=\cos x$

Интегрируем:
$\displaystyle\dfrac{y'}x=\dfrac{y'(\pi/2)}{\pi/2}+\int_{\pi/2}^x\cos x'\,dx'=1+\sin x-1=\sin x\\ y'=x\sin x$

Второй раз интегрируем:
$\displaystyle y=y\left(\frac\pi2\right)+\int_{\pi/2}^x x'\sin x'\,dx'=1-\int_{\pi/2}^x x'\,d\cos x'=1-x\cos x+\\+\int_{\pi/2}^x \cos x'\,dx=\sin x-x\cos x$

ответ: $\boxed{y(x)=\sin x-x\cos x}$