Question

Найти производную функции y= x^2 e^2/ x^2+3 (икс в квадрате , е в квадрате разделить на икс в квадрате плюс три)

Answer 1

$y=\dfrac{x^2e^2}{x^2+3}$

Найти производную можно парой

1) По-честному:

Использовать формулу производной частного двух функций, т.е. если$f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}$, то $f'(x)=\dfrac{g'(x)\cdot h(x)-h'(x)\cdot g(x)}{h^2(x)}$

$\medskip \\ y'=e^2\left(\dfrac{x^2}{x^2+3}\right)'=e^2\left(\dfrac{(x^2)'(x^2+3)-x^2(x^2+3)'}{(x^2+3)^2}\right)=\medskip\\=e^2\left(\dfrac{2x(x^2+3)-2x^3}{(x^2+3)^2}\right)=e^2\left(\dfrac{2x^3+6x-2x^3}{(x^2+3)^2}\right)=\dfrac{e^{2}6x}{(x^2+3)^2}$

2) Немного схитрим:

Можно просто поделить столбиком, но воспользуемся заменой переменной

$e^2\left(\dfrac{x^2}{x^2+3}\right) \medskip \\ x^2+3=\varphi \Rightarrow x^2=\varphi-3 \medskip \\ e^2\left(\dfrac{\varphi -3}{\varphi}\right)=e^2\left(1-\dfrac{3}{\varphi}\right) \medskip \\ y=e^2\left(1-\dfrac{3}{x^2+3}\right) \medskip \\ y'=e^2\left[0-\left(\dfrac{3}{x^2+3}\right)'\right]=-e^2\cdot\left[3\left((x^2+3)^{-1}\right)'\right]=\medskip\\=-3e^2\cdot(-1)(x^2+3)^{-2}\cdot 2x=6xe^2(x^2+3)^{-2}=\dfrac{6xe^2}{(x^2+3)^2}$

Как видим результаты получились одинаковые