Question

1*2+2*3+3*4++n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 доказать методом индукции

Answer 1

$1*2+2*3+3*4+\cdots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

Верно при $n = 1$ тк $1*2 = \frac{1(1+1)(1+2)}{3}$

Предположим, что верно при $n = k$. Докажем, что верно при $n = k + 1$.

$1*2+2*3+3*4+\cdots+k(k+1) + (k + 1)(k + 2)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k + 1)(k + 2)$

$\frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(\frac{k}{3} + 1) = (k + 1)(k + 2)(\frac{k + 3}{3}) = \frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3}$