Пошаговое объяснение:
1.
8 км 136 м * 6 - 7 м 75 см * 18+6 дм 7 мм * 58=48 км 711 м 34 см 6 мм
1) 8 км 136 м * 6=8 км*6+136 м*6=48 км+816 м=48 км 816 м
2) 7 м 75 см * 18=7 м*18+75 см * 18=126 м+1350 см=126 м+13 м 50 см=139 м 50 см
3) 6 дм 7 мм * 58=6 дм*58+7 мм*58=348 дм+406 мм=34 м 84 см 6 мм
4) 48 км 816 м - 139 м 50 см=48 км 676 м 50 см
5) 48 км 676 м 50 см+34 м 84 см 6 мм=48 км 711 м 34 см 6 мм
5 см 6 мм *40+5 км 760 м - 3 м 5 см*142=5 км 329 м 14 см
1) 5 см 6 мм * 40=5 см*40+6 мм*40=200 см+240 мм=2 м 24 см
2) 2 м 24 см+5 км 760 м=5 км 762 м 24 см
3) 3 м 5 см*142\3 м*142+5 см*142=426 м +710 см=426 м+7 м+10 см=433 м 10 см
3) 5 км 762 м 24 см - 433 м 10 см=5 км 329 м 14 см
2.
48 км 711 м 34 см 6 мм≈49 км
5 км 329 м 14 см≈5 км
3.
7 м 55 см · 5 + 6 м 85 см · 75 - 370 м 8 см=181 м 42 см≈181 м 4 дм
1) 7 м 55 см*5=755 см*5=3775 см=37 м 75 см
2) 6 м 85 см*75=685 см*75=51375 см=513 м 75 см
3) 37 м 75 см+513 м 75 см =550 м 150 см=551 м 50 см
4) 551 м 50 см - 370 м 8 см=181 м 42 см
480 м 64 см : 16 - 42 м 84см : 84 + 25 м 4см · 85=2 км 188 м 43 см≈2 км 188 м 4 дм
1) 480 м 64 см : 16=480 м:16+64 см:16=30 м 4 см
2) 42 м 84 см : 84=4284 см:84=51 см
3) 25 м 4 см * 85=254 см *85=215890 см=2 км 158 м 90 см
4) 30 м 4 см - 51 см=29 м 104 см - 51 см=29 м 53 см
5) 29 м 53 см+2 км 158 м 90 см=2 км 187 м 143 см=2 км 188 м 43 см
Пошаговое объяснение:
Этот небольшой урок позволит не только освоить типовую задачу, которая довольно часто встречается на практике, но и закрепить материалы статьи Разложение функций в степенные ряды. Нам потребуется таблица разложений функций в степенные ряды, которую можно раздобыть на странице Математические формулы и таблицы. Кроме того, читатель должен понимать геометрический смысл определенного интеграла и обладать элементарными навыками интегрирования.
На уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры? речь шла о том, что определенный интеграл – это площадь. Но в некоторых случаях интеграл является очень трудным или неберущимся, поэтому соответствующую площадь в большинстве случаев можно вычислить только приближенно.
Например: вычислить определенный интеграл . Такой интеграл является неберущимся, но аналитически и геометрически всё хорошо:
Приближенное вычисление определенного интеграла с разложения подынтегральной функции в ряд
Мы видим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке , а значит, площадь существует, и определенный интеграл численно равен заштрихованной площади. Беда только в том, что данную площадь можно вычислить лишь приближенно с определенной точностью. На основании вышеизложенных фактов и появилась типовая задача курса высшей математики.
Пример 1
Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена, с точностью до 0,001
Решение: Идея метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию соответствующим степенным рядом (если он, конечно, сходится к ней на промежутке интегрирования).
Поэтому на первом этапе нужно разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Эту рас на практике задачу мы очень подробно рассмотрели на уроке Разложение функций в степенные ряды. Кстати, рекомендую всем прочитать, поскольку некоторые вещи, о которых сейчас пойдет разговор, могут показаться малопонятными.
Используем табличное разложение:
В данном случае
Обратите внимание, как я записал ряд. Специфика рассматриваемого задания требует записывать только несколько первых членов ряда. Мы не пишем общий член ряда , он здесь ни к чему.
Чем больше членов ряда мы рассматриваем – тем лучше будет точность. Сколько слагаемых рассматривать? Из практики могу сказать, что в большинстве случаев для достижения точности 0,001 достаточно записать первые 4 члена ряда. Иногда требуется меньше. А иногда больше. Если в практическом примере их не хватило, то придётся переписывать всё заново =( Поэтому целесообразно провести предварительный черновой анализ или перестраховаться, изначально записав побольше членов (собственно, такой же совет как и для приближенного вычисления значения функции с ряда).
Следует также отметить, что точность до трёх знаков после запятой самая популярная. Также в ходу и другая точность вычислений, обычно 0,01 или 0,0001.
Теперь второй этап решения:
Сначала меняем подынтегральную функцию на полученный степенной ряд:
Почему это вообще можно сделать? Данный факт пояснялся ещё на уроке о разложении функций в степенные ряды – график бесконечного многочлена в точности совпадает с графиком функции ! Причем, в данном случае утверждение справедливо для любого значения «икс», а не только для отрезка интегрования .
На следующем шаге максимально упрощаем каждое слагаемое:
Лучше это сделать сразу, чтобы на следующем шаге не путаться с лишними вычислениями.
После упрощений почленно интегрируем всю начинку – напоминаю, что эта замечательная возможность обусловлена равномерной сходимостью степенных рядов:
Интегралы здесь на этом я не останавливаюсь.
На завершающем этапе вспоминаем школьную формулу Ньютона-Лейбница . Для тех, кто не смог устоять перед Ньютоном и Лейбницем, есть урок Определенные интегралы. Примеры решений.
Техника вычислений стандартна: сначала подставляем в каждое слагаемое 0,3, а затем ноль. Для вычислений используем калькулятор:
Сколько членов ряда нужно взять для окончательных вычислений? Если сходящийся ряд знакочередуется, то абсолютная погрешность вычислений по модулю не превосходит последнего отброшенного члена ряда. В нашем случае уже третий член ряда меньше требуемой точности 0,001, и поэтому если мы его отбросим, то заведомо ошибёмся не более чем на 0,000972 (осознайте, почему!). Таким образом, для окончательного расчёта достаточно первых двух членов: .
ответ: , с точностью до 0,001
Что это получилось за число с геометрической точки зрения? – это приблизительная площадь заштрихованной фигуры (см. рисунок выше).
Пример 2
Вычислить приближенно определенный интеберущимся, правда, решение не самое
нашёл только 3: Во время толчков не входите в здания и не бегайте вокруг них. Лучше всего оставаться на открытом месте, подальше от зданий и линий электропередачи.
2. Если оказались рядом с многоэтажкой, встаньте в дверной проем – это обезопасит от падающих обломков стекол, балконов, карнизов и парапетов.
ПОМНИТЕ: источником повышенной опасности являются подземные коммуникации, особенно трубопроводы с горячим водой и паром, а также система газоснабжения. Сельским жителям полезно позаботиться о домашних животных. Освободите их, они сами пойдут за вами.
Как действовать, если вы в транспорте
1. Любой транспорт нужно спокойно и быстро остановить, по возможности вдалеке от строений (зданий, путепроводов, мостов, ЛЭП, высоких деревьев). Попросите водителя остановиться и открыть двери, если он сам этого не сделал.
2. Водители не должны допускать пробок на дорогах и перекрытия перекрестков. Старайтесь объезжать центр и узкие проезды.
3. Водители автобусов и трамваев, остановив транспорт, должны открыть все двери, а затем, после первых толчков, контролировать соблюдение порядка при выходе из транспортного средства.
4. Если землетрясение вас настигло на железной дороге, не паникуйте, хватайтесь за поручни, ожидайте уведомлений от машиниста, при экстренной эвакуации следуйте за всеми, избегая паники и давки.
ПОМНИТЕ: не следует выходить из машины и автобуса до конца подземных толчков. Не стоит выбивать стекла и рваться в сторону дверей, создавая давку и заведомую опасность травм.