√Даны координаты вершин пирамиды ABCD:
A(2;1;2),B(0;4;2),C(0;1;8) D(2;4;10)
Требуется:
1) записать векторы векторов; AB,AC,AD в системе ортi , j ,k и найти длины этих векторов.
x y z Квадрат Длина ребра
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} -2 3 0 13 3,605551275
Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA} -2 0 6 40 6,32455532
Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} 0 3 8 73 8,544003745
Координаты в системе i , j ,k соответствуют координатам векторов по осям x y z.
2) найти угол между векторами AD,AC ;
cos(AD_AC) = ((-2*0 + 0*3 + 6*8)/(√40*√73) = 48/√2920 = 0,88828.
Угол равен 0,477209958 радиан или 27,34211651 градуса.
3) найти проекцию вектора AD на вектор AB ;
Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 0 · (-2) + 3 · 3 + 8 · 0 = 0 + 9 + 0 = 9
Найдем модуль вектора:
|b| = √(bx^2 + by^2 + bz^2) = √((-2)^2 + 3^2 + 0^2) = √(4 + 9 + 0) = √13
Пр ba = 9/√13 = 9√13 /13 ≈ 2.49615088.
4) найти площадь грани АВС;
Находим произведение векторов
ABC [AB ; AC]= 18 12 6
Площадь = Модуль/2 = 11,22497216 .
5) найти объем пирамиды АВСD;
Находим по смешанному произведению векторов AB, AC AD.
x y z
AB x AC 18 12 6
AD 0 3 8
Произвед = 0 36 48 = 84
V = (1/6) * 84 = 14.
6) составить уравнение ребра АС;
Уравнение AC x - 2 = y - 1 = z - 2
-2 0 6
7) составить уравнение грани АВС.
Составляем по координатам трёх точек.
15 x + 24 y + -12 z + -105 = 0 .
Или, сократив на 3:
5 x + 8 y + -4 z + -35 = 0 .
ответ:6