Question

Дискретная , , нужно сделать.

для отношения r = {(x, y)|(x + 3y) − четно} , r ⊂m × m, m= {1,2,3,4,5,6,7}

построить матрицу отношения, найти область определения d(r), область значений e(r),

обратное отношение, композицию r и r , композицию r и обратного отношения,

транзитивное и рефлексивное замыкания r. определить, выполняются ли для данного

отношения свойства рефлексивности, симметричности, антисимметричности,

транзитивности, полноты.

Answer 1

Чтобы построить матрицу отношения для данного отношения r, нужно проверить каждую пару элементов из множества m и определить, выполняется ли для них условие (x + 3y) - четно. Если условие выполняется, то ставим 1 в соответствующей ячейке матрицы, если не выполняется - ставим 0.

Так как множество m задано как {1,2,3,4,5,6,7}, то матрица будет размером 7x7.

1) Построим матрицу отношения:

```
1 2 3 4 5 6 7
1 0 0 0 0 1 1 1
2 1 0 0 0 0 1 1
3 0 1 0 0 0 0 1
4 1 0 1 0 0 0 0
5 0 1 0 1 0 0 0
6 0 0 1 0 1 0 0
7 0 0 0 1 0 1 0
```
В этой матрице каждый столбец соответствует значению y, а каждая строка - значению x. Значение 1 в ячейке означает, что условие (x + 3y) - четно выполняется для данной пары (x,y), а значения 0 - что условие не выполняется.

2) Найдем область определения d(r) для отношения r. Область определения - это множество всех элементов x, для которых существует хотя бы одно y, такое что (x,y) принадлежит отношению r. В данном случае, область определения будет множество значений x из множества m, для которых найдется хотя бы одно y, удовлетворяющее условию (x + 3y) - четно.

Из матрицы отношения видно, что область определения d(r) будет следующая: {1,2,3,4,5,6,7}.

3) Найдем область значений e(r) для отношения r. Область значений - это множество всех элементов y, для которых существует хотя бы одно x, такое что (x,y) принадлежит отношению r. В данном случае, область значений будет множество значений y из множества m, для которых найдется хотя бы одно x, удовлетворяющее условию (x + 3y) - четно.

Из матрицы отношения видно, что область значений e(r) будет следующая: {1,2,3,4,5,6,7}.

4) Найдем обратное отношение для отношения r. Для этого нужно поменять местами значения x и y в каждой паре (x,y) из отношения r.

Обратное отношение для данного r будет следующим: r^(-1) = {(y,x)|(x,y) принадлежит r}

```
1 2 3 4 5 6 7
1 0 1 0 1 0 0 0
2 0 0 1 0 1 0 0
3 0 0 0 1 0 1 0
4 0 0 0 0 1 0 1
5 1 0 0 0 0 1 0
6 1 1 0 0 0 0 1
7 1 1 1 0 0 0 0
```
5) Найдем композицию r и r. Композиция отношений r и r, обозначается как r ∘ r, представляет собой такое отношение, в котором пары (x,z) принадлежат отношению r ∘ r, если существует y из множества m, такое что пары (x,y) и (y,z) принадлежат отношению r.

Композиция r ∘ r будет построена следующим образом:
1) Возьмем первый элемент x из множества m и проверим каждый элемент z множества m.
2) Если найдется y, такое что (x,y) и (y,z) принадлежат отношению r, то ставим 1 в соответствующей ячейке матрицы композиции, иначе - 0.

Матрица композиции r ∘ r будет размером 7x7.

```
1 2 3 4 5 6 7
1 0 0 1 1 0 1 0
2 1 0 0 1 1 0 1
3 0 1 0 0 1 1 0
4 1 0 1 0 0 1 1
5 0 1 0 1 0 0 1
6 1 0 1 0 1 0 0
7 0 1 0 1 0 1 0
```

6) Найдем композицию r и обратного отношения. Композиция отношений r и r^(-1), обозначается как r ∘ r^(-1), представляет собой такое отношение, в котором пары (x,z) принадлежат отношению r ∘ r^(-1), если существует y из множества m, такое что пары (x,y) и (y,z) принадлежат отношению r^(-1).

Композиция r ∘ r^(-1) будет построена аналогично композиции r ∘ r.

Матрица композиции r ∘ r^(-1) будет размером 7x7.

```
1 2 3 4 5 6 7
1 0 1 0 1 0 1 0
2 1 0 1 0 1 0 1
3 0 1 0 1 0 1 0
4 1 0 1 0 1 0 1
5 0 1 0 1 0 1 0
6 1 0 1 0 1 0 1
7 0 1 0 1 0 1 0
```

7) Найдем транзитивное и рефлексивное замыкания для отношения r.

- Транзитивное замыкание отношения r будет являться объединением отношения r и его композиции с самим собой. Обозначается как r^t.

Транзитивное замыкание отношения r будет построено следующим образом:
1) Возьмем каждый элемент x из множества m и проверим каждый элемент y и z множества m.
2) Если существуют y и z, такие что (x,y) и (y,z) принадлежат отношению r, то добавляем пару (x,z) в транзитивное замыкание отношения r.

```
1 2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1 1 1
3 1 1 1 1 1 1 1
4 1 1 1 1 1 1 1
5 1 1 1 1 1 1 1
6 1 1 1 1 1 1 1
7 1 1 1 1 1 1 1
```

- Рефлексивное замыкание отношения r будет являться объединением отношения r и единичной матрицы. Обозначается как r^r.

Рефлексивное замыкание отношения r будет построено следующим образом:
1) Возьмем каждый элемент x из множества m и добавим пару (x,x) в рефлексивное замыкание отношения r.

```
1 2 3 4 5 6 7
1 1 0 0 0 0 0 0
2 0 1 0 0 0 0 0
3 0 0 1 0 0 0 0
4 0 0