Question

Найти общее решение системы уравнений: dx/dt=2x+y dy/dt=3x+4y

Answer 1

для простоты обозначим производные как:

dx/dt=x'

dy/dt=y'

применяем метод исключения (выражаем одну функцию через другую)

$\left\{\begin{matrix}x'=2x+y\\ y'=3x+4y \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=x'-2x\\ y'=3x+4y \end{matrix}\right. \\ \\ y'=x''-2x' \\ \\ x''-2x'=3x+4(x'-2x) \\ x''-2x'=3x+4x'-8x \\ x''-6x'+5x=0 \\ \\ k^2-6k+5=0 \\ k_1=1 \\ k_2=5$

$x(t)=C_1e^t+C_2e^{5t} \\ \\ y(t)=x'-2x =C_1e^t+5C_2e^{5t}-2*(C_1e^t+C_2e^{5t})=\\=C_1e^t+5C_2e^{5t}-2C_1e^t-2C_2e^{5t}=-C_1e^t+3C_2e^{5t} \\ \\OTBET:\begin{pmatrix}C_1e^t+C_2e^{5t}\\ -C_1e^t+3C_2e^{5t}\end{pmatrix}$

Answer 2

Для нахождения общего решения системы уравнений dx/dt=2x+y и dy/dt=3x+4y, мы можем использовать метод интегрирования переменных. Давайте разберемся с каждым уравнением поочередно.

Первое уравнение dx/dt=2x+y:

Шаг 1: Приведем уравнение к виду, удобному для интегрирования.
dx/dt = 2x + y можно переписать в виде
dx = (2x + y) dt

Шаг 2: Интегрируем обе стороны уравнения.
∫dx = ∫(2x + y) dt
x = x^2/2 + yt + C1

где С1 - произвольная постоянная интегрирования.

Второе уравнение dy/dt=3x+4y:

Шаг 1: Приведем уравнение к виду, удобному для интегрирования.
dy/dt = 3x + 4y можно переписать в виде
dy = (3x + 4y) dt

Шаг 2: Интегрируем обе стороны уравнения.
∫dy = ∫(3x + 4y) dt
y = 3x^2/2 + 4yt + C2

где С2 - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, мы получили два уравнения для переменных x и y:
x = x^2/2 + yt + C1
y = 3x^2/2 + 4yt + C2

Итак, общее решение системы уравнений dx/dt=2x+y и dy/dt=3x+4y выглядит следующим образом:
x = x^2/2 + yt + C1
y = 3x^2/2 + 4yt + C2

Здесь C1 и C2 - произвольные постоянные. Они могут принимать любые значения, так как выражение общего решения содержит все возможные решения системы уравнений.