Question

Надо доказать методом индукции, что 6^2n +3^(n+2)+3^n делится на 11

Answer 1

При n=1
6²+3³+3=36+27+3=66 делится на 11

пусть при n=k
$6^{2k} +3^{k+2}+3^k = \\ = {6}^{2k} + {3}^{k} ( {3}^{2} + 1) = \\ = {6}^{2k} +10 \cdot {3}^{k}$
делится на 11

докажем , что при n=k+1
$6^{2(k + 1)} +3^{(k + 1)+2}+3^{k + 1}$
делится на 11

$6^{2k + 2} +3^{k + 3}+3^{k + 1} = \\ = 36 \cdot {6}^{2k} + {3}^{k } ( {3}^{3} + 3) = \\ = 36 \cdot {6}^{2k} + 30 \cdot {3}^{k } = \\ = 33\cdot {6}^{2k} + 3\cdot {6}^{2k} + \\ + 3 \cdot 10\cdot {3}^{k } = \\ = 11 \cdot {3}\cdot {6}^{2k} + \\ + 3({6}^{2k} + 10\cdot {3}^{k })$
полученная сумма делится на 11, так как очевидно, что
$a = 11 \cdot {3}\cdot {6}^{2k}$
делится на 11
и
$b = ({6}^{2k} + 10\cdot {3}^{k })$
по предположению матиндукции

Значит их линейная комбинация
a+3b
тоже делится на 11
что и требовалось доказать

Значит, при любом натуральном n

$6^{2n} +3^{n+2}+3^n$

делится на 11