РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ:
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC биссектриса угла А пересекает
боковую сторону CD в точке Е.
Найти площадь треугольника АВЕ если AD=2BC AD=AB а площадь трапеции
равна 18см^2
Выполним следующие дополнительные построения:
1) проведем диагональ трапеции через точки B и D,
обозначим точку пересечения этой диагонали с биссектрисой
как M
2) продолжим биссектрису за точку E до пересечения
с продолжением основания ВС вправо за точку C;
пусть точка пересечения N
Обозначим длину BC за X, а высоту трапеции за H.
Тогда площадь трапеции есть H * (X + 2X) / 2 = 18,
отсюда H * X = 12 (этот факт нам пригодится в дальнейшем)
Очевидно, что BM = MD (из равенства треугольников ABM и ADM
по двум сторонам и углу между ними) .
Отсюда следует, что средняя линия треугольника ABD
проходит через точку M и равна половине AD, то есть X.
Эта же средняя линия есть и средняя линия трапеции.
Обозначим пересечение средней линии трапеции со стороной AB точкой P,
а со стороной CD точкой Q.
В свою очередь, средняя линия треугольника ABD равна средней
линии треугольника ABN, откуда следует, что BN равно 2X.
Теперь обратимся к площадям треугольников. Искомая площадь
треугольника ABE равна площади треугольника ABN за вычетом
площади треугольника BNE.
Очевидно, площадь треугольника ABN равна (H * 2X) / 2 = H * X
Обратим внимание на подобные треугольники CEN и QEM.
Так как средняя линия PQ трапеции равна (X + 2X) / 2 = 3/2 * X,
а средняя линия треугольника ABD равна X, то длина MQ = PQ - PM = X / 2
Очевидно, что длина CN = BN - BC = 2X - X = X, то есть коэффициент подобия
трегольников равен 2 (или, если угодно, 1/2).
Отсюда следует, что высота треугольника CEN в 2 раза больше высоты
треугольника QEM (рассматриваются высоты, проведенные из точки E).
А кроме того, сумма этих двух высот составляет половину высоты трапеции H.
Обозначая высоту треугольника QEM за h, имеем очевидное уравнение:
h + 2h = H / 2, 3h = H / 2, h = H / 6, 2h = H / 3.
Теперь у нас есть все, чтобы определиться с площадью треугольника BNE.
Его основание BN равно 2X, высота равна 2h = H / 3. Следовательно,
его площадь равна (H / 3) * 2X / 2 = (H * X) / 3.
Итак, площадь треугольника ABE = H * X - (H * X) / 3 = 2/3 *(H * X).
Вспоминаем наш факт, что H * X = 12 и получаем окончательный ответ
(если к этому моменту еще не заснули от объяснений) :
площадь треугольника ABE равна 2/3 * 12 = 8
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ:
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC биссектриса угла А пересекает
боковую сторону CD в точке Е.
Найти площадь треугольника АВЕ если AD=2BC AD=AB а площадь трапеции
равна 18см^2
Выполним следующие дополнительные построения:
1) проведем диагональ трапеции через точки B и D,
обозначим точку пересечения этой диагонали с биссектрисой
как M
2) продолжим биссектрису за точку E до пересечения
с продолжением основания ВС вправо за точку C;
пусть точка пересечения N
Обозначим длину BC за X, а высоту трапеции за H.
Тогда площадь трапеции есть H * (X + 2X) / 2 = 18,
отсюда H * X = 12 (этот факт нам пригодится в дальнейшем)
Очевидно, что BM = MD (из равенства треугольников ABM и ADM
по двум сторонам и углу между ними) .
Отсюда следует, что средняя линия треугольника ABD
проходит через точку M и равна половине AD, то есть X.
Эта же средняя линия есть и средняя линия трапеции.
Обозначим пересечение средней линии трапеции со стороной AB точкой P,
а со стороной CD точкой Q.
В свою очередь, средняя линия треугольника ABD равна средней
линии треугольника ABN, откуда следует, что BN равно 2X.
Теперь обратимся к площадям треугольников. Искомая площадь
треугольника ABE равна площади треугольника ABN за вычетом
площади треугольника BNE.
Очевидно, площадь треугольника ABN равна (H * 2X) / 2 = H * X
Обратим внимание на подобные треугольники CEN и QEM.
Так как средняя линия PQ трапеции равна (X + 2X) / 2 = 3/2 * X,
а средняя линия треугольника ABD равна X, то длина MQ = PQ - PM = X / 2
Очевидно, что длина CN = BN - BC = 2X - X = X, то есть коэффициент подобия
трегольников равен 2 (или, если угодно, 1/2).
Отсюда следует, что высота треугольника CEN в 2 раза больше высоты
треугольника QEM (рассматриваются высоты, проведенные из точки E).
А кроме того, сумма этих двух высот составляет половину высоты трапеции H.
Обозначая высоту треугольника QEM за h, имеем очевидное уравнение:
h + 2h = H / 2, 3h = H / 2, h = H / 6, 2h = H / 3.
Теперь у нас есть все, чтобы определиться с площадью треугольника BNE.
Его основание BN равно 2X, высота равна 2h = H / 3. Следовательно,
его площадь равна (H / 3) * 2X / 2 = (H * X) / 3.
Итак, площадь треугольника ABE = H * X - (H * X) / 3 = 2/3 *(H * X).
Вспоминаем наш факт, что H * X = 12 и получаем окончательный ответ
(если к этому моменту еще не заснули от объяснений) :
площадь треугольника ABE равна 2/3 * 12 = 8