1) Найти области определения и значений данной функции f.
Для аргумента и функции нет ограничений: их значения - вся числовая ось.
2) Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т. е. является ли функция f: а) четной или нечетной:
f(-x)=(-x)³−1 = -x³−1 = -(x³+1). Значит, функция не чётная и не нечётная.
б) не периодическая.
3) Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат:
- пересечение с осью Оу (х = 0), у = -1.
- пересечение с осью Ох (у = 0), x³−1 = 0, x³ = 1, x = ∛1 = 1.
4) Найти промежутки знакопостоянства функции f.
На основе нулей функции имеем:
- функция отрицательна при х < 1 (x ∈ (-∞; 1),
- функция положительна при х > 1 (x ∈ (1; +∞).
5) на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает.
Найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точка.
Находим производную функции и приравниваем нулю.
y' = 3x² = 0, x = 0 это критическая точка. Находим знаки производной левее и правее этой точки. Так как переменная в квадрате, то знак её положителен. Значит, функция на всей области определения возрастает.
Поэтому не имеет ни минимума, ни максимума.
6) Вторая производная y'' = 6x. Поэтому в точке х = 0 функция имеет перегиб. При x < 0 график функции выпуклый, при x > 0 вогнутый.
7) Асимптот функция не имеет.
ДАНО: Y = (3x-1)/x
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения - Х≠0. Х∈(-∞;0)∪(0;+∞) - разрыв при Х=0.
2. Вертикальная асимптота: Х = 0.
3. Пересечение с осью Х.
3*х - 1 = 0 и х1 = 1/3
4. Пересечение с осью У - нет - не существует
5. Проверка на чётность.
Y(-x) = (3*x+1)/x ≠ - Y(x) ≠ Y(x) - ни чётная ни нечётная.
6, Поиск экстремумов через первую производную функции.
Запишем функцию Y(x) = (3x-1) * x⁻¹ - произведение двух функций.
Y'(x) = 3/x - (3*x-1)/x² = 0.
Корней - нет, Экстремумов - нет.
7. Интервалы монотонности.
Возрастает - Х∈(-∞;0)∪(0;+∞).
8. Из пункта 7 следует, что и точек перегиба нет.... КРОМЕ точки разрыва.
Вогнутая - "ложка" - Х∈(-∞;0) и выпуклая - "горка" - Х∈(0;+∞).
9. Горизонтальная асимптота - Y(-∞) = 3, Y(+∞)=3
Y = 3 - горизонтальная асимптота.
10. График в приложении.