Пошаговое объяснение:
ДАНО: y= 4*x/(x²+4)
1. Область определения: Непрерывная гладкая.
D(y)= R = (-∞;+∞).
2. Нули функции, пересечение с осью ОХ.
y = 4*x/(x²+4) = 0 . Нуль функции: x = 0.
3. Пересечение с осью ОУ: Y(0) = 0.
4. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;0).
Положительна: Y(x)>0 - X∈(0;+∞;)
5. Проверка на чётность.
Функция нечётная: Y(-x) = -Y(x).
6. Поиск экстремумов по первой производной.
Y'(x) = (16-4*x²)/(x²+4)² = 0 Решаем в числителе? 4*x² = 16,
x1 = -2 x2 = 2
7. Локальные экстремумы:
Ymin(-2 = - 1, Ymax(2) = 1.
8. Интервалы монотонности.
Убывает: x∈(-∞;-2)∪(2;+∞)
Возрастает: x∈[-2;2]
9. Поиск перегибов по второй производной.
Y"(x) = 8*x*(x²-12)/(x²+4)³ = 0.
Точки перегиба: при х1 = -2√3 (≈-3,5), х2= 0, х3 = 2√3 (≈3,5) 11. Вогнутая - "ложка"- X∈(-2√3;0)∪(2√3;+∞),
выпуклая - "горка" - X∈(-∞;-2√3)∪(0;2√3);
12. Наклонная асимптота.
k = lim(+∞) Y(x)/x = 4/(x²+4) = 0
b = lim(+∞) Y(x) = 0
Горизонтальная асимптота: Y = 0.
13. Область значений. E(y) - y∈[-1;1].
14. График функции на рисунке в приложении.
Графики производных - излишества для демонстрации функций.
![Исследовать дифференциального исчисления функцию и построить ее график [tex]y=\frac{4x}{4+x^{2} }[/t](/tpl/images/1031/7785/7dc79.jpg)
14