Question

По теории вероятностей есть две урны. в них находятся белые и цветные шары. в первой - 3 белых и 4 цветных, во второй наоборот - 4 белых и 3 цветных. из первой урны достали два шара и переложили во вторую. затем из второй вытащили один белый. какова вероятность,что этот белый шар первоначально находился в первой урне?

Answer 1

Сначала разберёмся с первым этапом.

Вероятность того, что переложены 2 цветных шара: 4/7 * 3/6 = 2/7 (первый шар цветной с вероятностью 4/7, после этого остаются 3 цветных шара и 6 шаров всего).Вероятность того, что переложены 2 белых шара: 3/7 * 2/6 = 1/7Вероятность того, что переложен 1 белый шар и 1 цветной: 1 - 2/7 - 1/7 = 4/7

Пусть A₁ = "вытащен белый шар, который первоначально был в первой урне", A₂ - соответственно, во второй, B = "вытащен белый шар". Формула Байеса:

$P(A_1|B)=\dfrac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B)}=\dfrac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)}$

Вычисляем вероятности.

$P(B|A_1)=P(B|A_2)=1$: если известно, что вытащен белый шар из первой (второй) корзины, то вероятность, что вытащен белый шар, равна 1.$P(A_1)=0\cdot\dfrac27+\dfrac29\cdot\dfrac17+\dfrac19\cdot\dfrac47=\dfrac2{21}$: если переложили 0 белых шаров (вероятность 2/7), то невозможно вытащить переложенный белый шар; если переложили 2 белых шара, то вероятность вытащить переложенный белый шар равна 2/9, так как всего во второй урне 9 шаров, и т.д.$P(A_2)=\dfrac49$: во второй урне всегда 4 непереложенных белых шара и 5 оставшихся шаров.

Подставляем в формулу:

$P(A_1|B)=\dfrac{2/21}{2/21+4/9}=\dfrac3{17}$