Периметр прямоугольного треугольника равен 60 см. Высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 см. Найти площадь треугольника.
* * *
Площадь треугольника равна произведению радиуса r вписанной окружности на полупериметр р
Формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности
r=(a+b-c):2 , где а и b - катеты, c -гипотенуза.
a+b=P-с=60-c
r=(60-c-c):2=30-c
По другой формуле
r=S:p
S=h*c:2
S=12*c:2=6c
р=60:2=30
r=6c/30=c/5
Приравняем найденные значения радиуса
c/5=30-c
150-5c=c
6c=150
c=25 см
r=25/5=5 см
S=r*p=5*30=150 см²
Хотя детали описания задачи в разных источниках отличаются, суть остаётся неизменной. По легенде[источник не указан 275 дней], когда создатель шахмат (по одним данным[источник не указан 275 дней] — древнеиндийский математик, по другим[источник не указан 275 дней] — легендарный дравид велалар по имени Сесса или Сисса) показал своё изобретение правителю страны, тому так понравилась игра, что он дал изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у короля за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно пшеницы (по другой версии[источник не указан 275 дней] — риса), за вторую — два, за третью — четыре и т. д., удваивая количество зёрен на каждой следующей клетке. Правитель, не разбиравшийся в математике, быстро согласился, даже несколько обидевшись на столь невысокую оценку изобретения, и приказал казначею подсчитать и выдать изобретателю нужное количество зерна. Однако, когда неделю спустя казначей всё ещё не смог подсчитать, сколько нужно зёрен, правитель спросил, в чём причина такой задержки. Казначей показал ему расчёты и сказал, что расплатиться невозможно, разве только осушить моря и океаны и засеять всё пространство пшеницей.
Количество зерна примерно в 1800 раз превышает мировой урожай пшеницы за год (в 2008-09 аграрном году урожай составил 686 млн тонн[1]), то есть превышает весь урожай пшеницы, собранный за всю историю человечества. Количество зёрен составляет примерно 0,0031% числа Авогадро. В единицах массы: если принять, что одно зёрнышко пшеницы имеет массу 0,065 грамма (Troy grain [тройское зерно]: 1 gr = 0,06479891 g[2]), тогда общая масса пшеницы на шахматной доске составит 1200 миллиардов тонн или 1,2 триллиона тонн