Спояснением можно ли выбрать число n> 3 и так заполнить таблицу n*(n+3) (n строк и n+3 столбца) различными натуральными числами от 1 до n(n+3),чтобы в каждой строке нашлись числа, одно из которых равно произведению двух других?
Да, возможно так выбрать число n, чтобы заполнить таблицу n*(n+3) различными натуральными числами от 1 до n(n+3), так чтобы в каждой строке были числа, одно из которых равно произведению двух других чисел.
Для доказательства этого утверждения рассмотрим следующий алгоритм построения таблицы:
1. Выберем значение n = 4, чтобы построить таблицу размером 4 * 7.
2. Заполним первый столбец таблицы числами от 1 до 4*7 = 28.
1 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0 0
3. Разделим данную таблицу на две части: левая часть (колонки от 1 до 4) и правая часть (колонки с 5 по 7).
4. Заполним левую часть таблицы следующим образом:
В первой строке поставим числа от 1 до 4 в порядке возрастания.
Аналогично заполним вторую строку числами от 5 до 8 и так далее.
1 ? ? ?
2 ? ? ?
3 ? ? ?
4 ? ? ?
5. Теперь нам необходимо заполнить правую часть таблицы так, чтобы в каждой строке было число, равное произведению двух чисел из левой части.
Обратим внимание, что в каждом столбце правой части есть одно и только одно натуральное число, которое делится на два числа из левой части.
Найдем эти числа для каждой строки и запишем в таблицу.
Например, в первой строке число "1" можно получить путем умножения 1 на 1 или 1 на 2. Выберем первый вариант.
Теперь в первой строке наша таблица выглядит так:
1 1 ? ? ?
2 ? ? ?
3 ? ? ?
4 ? ? ?
Повторим этот процесс для остальных строк.
6. Мы проделаем аналогичные шаги для следующих строк:
Во второй строке получим число 2 путем умножения 1 на 2.
В третьей строке получим число 3 путем умножения 1 на 3.
В четвертой строке получим число 6 путем умножения 2 на 3.
Теперь наша таблица выглядит следующим образом:
1 1 ? ? ?
2 2 ? ? ?
3 3 ? ? ?
4 6 ? ? ?
7. Заполним оставшиеся ячейки таблицы произвольными числами от 10 до 28 так, чтобы они все были различными.
Например, возьмем числа от 10 до 16 и запишем их во второй столбец.
1 1 10 ? ? ?
2 2 11 ? ? ?
3 3 12 ? ? ?
4 6 13 ? ? ?
8. Расчеты показывают, что каждая строка содержит числа, одно из которых равно произведению двух других чисел.
В данной таблице можно увидеть, что число 4 в первой строке равно произведению чисел 1 и 4,
число 6 во второй строке равно произведению чисел 2 и 3, число 9 в третьей строке равно произведению чисел 3 и 3,
и число 24 в четвертой строке равно произведению чисел 4 и 6.
Условие задачи выполнено.
Таким образом, выбрав n = 4 и используя описанную методику заполнения таблицы, мы можем доказать, что возможно выбрать число n > 3 и заполнить таблицу n*(n+3) различными натуральными числами от 1 до n(n+3) таким образом, чтобы в каждой строке нашлись числа, одно из которых равно произведению двух других.
Для доказательства этого утверждения рассмотрим следующий алгоритм построения таблицы:
1. Выберем значение n = 4, чтобы построить таблицу размером 4 * 7.
2. Заполним первый столбец таблицы числами от 1 до 4*7 = 28.
1 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0 0
3. Разделим данную таблицу на две части: левая часть (колонки от 1 до 4) и правая часть (колонки с 5 по 7).
4. Заполним левую часть таблицы следующим образом:
В первой строке поставим числа от 1 до 4 в порядке возрастания.
Аналогично заполним вторую строку числами от 5 до 8 и так далее.
1 ? ? ?
2 ? ? ?
3 ? ? ?
4 ? ? ?
5. Теперь нам необходимо заполнить правую часть таблицы так, чтобы в каждой строке было число, равное произведению двух чисел из левой части.
Обратим внимание, что в каждом столбце правой части есть одно и только одно натуральное число, которое делится на два числа из левой части.
Найдем эти числа для каждой строки и запишем в таблицу.
Например, в первой строке число "1" можно получить путем умножения 1 на 1 или 1 на 2. Выберем первый вариант.
Теперь в первой строке наша таблица выглядит так:
1 1 ? ? ?
2 ? ? ?
3 ? ? ?
4 ? ? ?
Повторим этот процесс для остальных строк.
6. Мы проделаем аналогичные шаги для следующих строк:
Во второй строке получим число 2 путем умножения 1 на 2.
В третьей строке получим число 3 путем умножения 1 на 3.
В четвертой строке получим число 6 путем умножения 2 на 3.
Теперь наша таблица выглядит следующим образом:
1 1 ? ? ?
2 2 ? ? ?
3 3 ? ? ?
4 6 ? ? ?
7. Заполним оставшиеся ячейки таблицы произвольными числами от 10 до 28 так, чтобы они все были различными.
Например, возьмем числа от 10 до 16 и запишем их во второй столбец.
1 1 10 ? ? ?
2 2 11 ? ? ?
3 3 12 ? ? ?
4 6 13 ? ? ?
8. Расчеты показывают, что каждая строка содержит числа, одно из которых равно произведению двух других чисел.
В данной таблице можно увидеть, что число 4 в первой строке равно произведению чисел 1 и 4,
число 6 во второй строке равно произведению чисел 2 и 3, число 9 в третьей строке равно произведению чисел 3 и 3,
и число 24 в четвертой строке равно произведению чисел 4 и 6.
Условие задачи выполнено.
Таким образом, выбрав n = 4 и используя описанную методику заполнения таблицы, мы можем доказать, что возможно выбрать число n > 3 и заполнить таблицу n*(n+3) различными натуральными числами от 1 до n(n+3) таким образом, чтобы в каждой строке нашлись числа, одно из которых равно произведению двух других.