Дана функция " ρ = 5 / 6 + 3 cos ф " в полярной системе координат. требуется: 1) построить график функции по точкам, рассчитав таблицу значений с шагом π/8, начиная от ϕ = 0 до ϕ = 2п ; 2) найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.
График функции " r = 5 / (6 + 3 cos (fi))" в полярной системе координат и таблица точек для его построения приведены в приложении.
Для приведения уравнения к каноническому виду надо выделить полные квадраты с учётом соотношений:
r = √(x² + y²) и cos(fi) = x/√(x² + y²).
В заданной функции r = 5 / (6 + 3 cos (fi)) заменим полярные координаты на декартовы.
√(x² + y²) = 5/(6 + (3x/√(x² + y²)).
После приведения к общему знаменателю и сокращению, получаем квадратичную функцию: 6√(x² + y²) = 5 - 3х.
Возведём обе части в квадрат.
36х² + 36у² = 25 - 30х + 9х²,
27х² + 36у² + 30х - 25 = 0.
Выделим полный квадрат по х: 27(х² + 2*(5/9)*х + (5/9)²) = 27(х + (5/9))².
Уравнение принимает вид: 27(х + (5/9))² + у² = 25 - (5/9)².
Или 27(х + (5/9))² + у² = 100/3.
Разделим все выражение на 100/3:
Получаем каноническое уравнение эллипса:
((х + (5/9))²)/(100/81) + у²/(25/27) = 1 ,
или ((х + (5/9))²)/((10/9)²) + у²/((5/3√3)²) = 1.
Полуоси эллипса: а = (10/9), в = 5/(3√3).
Центр в точке: C((-5/9); 0).
С учетом центра, координаты фокусов равны:
F1(-5/9+(-5/9); 0), F2(5/9+(-5/9); 0) или F1((-10/9); 0), F2(0; 0).
Параметр c - половина расстояния между фокусами - равен:
с = √(a² - b²) = √((100/81) - (25/27)) = 5/9.
Эксцентриситет равен: е = с/а = (5/9)/(10/9) = 0,5.